図形と計量の問題

$s=\sin \theta$, $c=\cos \theta$ とおく。$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ より
$$0\leqq s\leqq 1,-1\leqq c\leqq 1,s^2+c^2=1$$
である。また $c+2>0$ であるから、$y$ は常に定義される。

最小値について

$s\geqq 0$ より分子は $s+1\geqq 1$、$c\leqq 1$ より分母は $0<c+2\leqq 3$ である。よって
$$y=\frac{s+1}{c+2}\geqq \frac{1}{3}$$
が成り立つ。等号は $s=0$ かつ $c=1$、すなわち $\theta =0^{\circ }$ のときに成り立つ。したがって $y$ の最小値は $\frac{1}{3}$ である。

最大値について

ある $\theta$ で $y=k$ となるとする。$\frac{s+1}{c+2}=k$ より
$$s=k(c+2)-1=kc+2k-1$$
である。これを $s^2+c^2=1$ に代入すると
$$(kc+2k-1{)}^2+c^2=1$$
$$k^2{c}^2+2k(2k-1)c+(2k-1{)}^2+c^2-1=0$$
$$(k^2+1)c^2+(4k^2-2k)c+(4k^2-4k)=0(1)$$
となる。$c=\cos \theta$ は実数なので、$c$ の 2 次方程式 $(1)$ は実数解をもつ。$k^2+1>0$ であるから、判別式を $D$ とすると $D\geqq 0$ が必要である。
$$\frac{D}{4}=(2k^2-k{)}^2-(k^2+1)(4k^2-4k)$$
を計算する。
$$(2k^2-k{)}^2=4k^4-4k^3+k^2$$
$$(k^2+1)(4k^2-4k)=4k^4-4k^3+4k^2-4k$$
より
$$\frac{D}{4}=-3k^2+4k=-k(3k-4)$$
である。$\frac{D}{4}\geqq 0$ より $0\leqq k\leqq \frac{4}{3}$ となる。よって $y\leqq \frac{4}{3}$ である。

次に、$k=\frac{4}{3}$ が実際に実現されることを確かめる。このとき $(1)$ は重解をもち、その重解は
$$c=-\frac{4k^2-2k}{2(k^2+1)}=-\frac{\frac{64}{9}-\frac{24}{9}}{2\cdot \frac{25}{9}}=-\frac{40}{50}=-\frac{4}{5}$$
である。対応する $s$ は
$$s=\frac{4}{3}\left(-\frac{4}{5}+2\right)-1=\frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}-1=\frac{3}{5}$$
となる。$s=\frac{3}{5}\geqq 0$ であり、$s^2+c^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ を満たす。よって $\cos \theta =-\frac{4}{5}$, $\sin \theta =\frac{3}{5}$ となる $\theta$（$90^{\circ }<\theta <180^{\circ }$）が存在する。このとき
$$y=\frac{\frac{3}{5}+1}{-\frac{4}{5}+2}=\frac{\frac{8}{5}}{\frac{6}{5}}=\frac{4}{3}$$
である。したがって $y$ の最大値は $\frac{4}{3}$ である。

中間の値について

$\theta$ を $0^{\circ }$ から上の $\theta$ まで連続的に変化させると、$\sin \theta$, $\cos \theta$ は連続的に変化する。分母 $\cos \theta +2$ は $0$ にならないので、$y$ も途切れることなく $\frac{1}{3}$ から $\frac{4}{3}$ まで変化する。よって、その間のすべての値をとる。

（図形的には、$y$ は点 $\mathrm{A}(-2,-1)$ と単位円の上半分上の点 $\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$ を結ぶ直線の傾きを表す。点 $\mathrm{P}$ が $(1,0)$ のとき傾きは最小の $\frac{1}{3}$、直線 $\mathrm{AP}$ が円に接する点 $\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$ のとき傾きは最大の $\frac{4}{3}$ になる。）

以上より、求める範囲は
$$\frac{1}{3}\leqq y\leqq \frac{4}{3}$$
である。

点 $P(\cos \theta ,\sin \theta )$ は $0^{\circ }\le \theta \le 180^{\circ }$ で単位円の上半分(両端 $(1,0),(-1,0)$ を含む)を動く。$y=\frac{\sin \theta +1}{\cos \theta +2}$ は定点 $A(-2,-1)$ と $P$ を結ぶ直線の傾きである。

端点の値:
- $\theta =0^{\circ }$ のとき、$P(1,0)$ で $y=\frac{1}{3}$。
- $\theta =180^{\circ }$ のとき、$P(-1,0)$ で $y=\frac{1}{1}=1$。

接線を調べる。直線 $y+1=m(x+2)$、すなわち $mx-y+2m-1=0$ が単位円に接する条件は、原点からの距離が 1 であること。
$$\frac{|2m-1|}{\sqrt{m^2+1}}=1\Rightarrow 4m^2-4m+1=m^2+1\Rightarrow 3m^2-4m=0\Rightarrow m=0,\frac{4}{3}.$$

$m=\frac{4}{3}$ の接点は、直線 $4x-3y+5=0$ への原点からの垂線の足 $\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$ で、上半円上にある。このとき $y=\frac{3/5+1}{-4/5+2}=\frac{8/5}{6/5}=\frac{4}{3}$。

$m=0$ の接点は $(0,1)$ で、このとき $y=\frac{2}{2}=1$。これは最大値ではない。

上半円上で $y$ は連続に動く。$\theta =0^{\circ }$ で $\frac{1}{3}$ から増加して $\frac{4}{3}$ に達し、その後減少して $\theta =180^{\circ }$ で $1$ になる。

よって最小値は $\frac{1}{3}$(端点 $\theta =0^{\circ }$)、最大値は $\frac{4}{3}$ である。

検算: $\sin \theta =\frac{3}{5},\cos \theta =-\frac{4}{5}$ を代入すると $y=\frac{4}{3}$ となり、上の計算と一致する。

答え: $\frac{1}{3}\le y\le \frac{4}{3}$