図形と計量の問題

手順 1：$\sin \theta \cos \theta$ を求める。

$\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{3}$ の両辺を 2 乗します。${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ なので
$$(\sin \theta +\cos \theta {)}^2={\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =1+2\sin \theta \cos \theta$$
となります。これが ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$ に等しいので
$$1+2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{9}$$
$$2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{9}-1=-\frac{8}{9}$$
$$\sin \theta \cos \theta =-\frac{4}{9}$$

手順 2：$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2$ を求める。

同じように展開すると
$$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2={\sin }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =1-2\sin \theta \cos \theta$$
です。手順 1 の結果を代入すると
$$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=1-2\cdot \left(-\frac{4}{9}\right)=1+\frac{8}{9}=\frac{17}{9}$$
となります。

手順 3：符号を決める。

$0^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ なので $\sin \theta >0$ です。さらに $\sin \theta \cos \theta =-\frac{4}{9}<0$ なので $\cos \theta <0$ です。

よって $\sin \theta -\cos \theta =(\text{正})-(\text{負})>0$ です。

手順 4：値を求める。

$\sin \theta -\cos \theta >0$ なので、手順 2 の正の平方根をとって
$$\sin \theta -\cos \theta =\sqrt{\frac{17}{9}}=\frac{\sqrt{17}}{3}$$

（確認：$\sin \theta =\frac{1+\sqrt{17}}{6}$、$\cos \theta =\frac{1-\sqrt{17}}{6}$ となり、${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =\frac{18+2\sqrt{17}+18-2\sqrt{17}}{36}=1$ を満たします。）

$\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{3}$ の両辺を2乗すると $1+2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{9}$ となるので、$2\sin \theta \cos \theta =-\frac{8}{9}$。
$0^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ より $\sin \theta >0$ であり、$\sin \theta \cos \theta <0$ だから $\cos \theta <0$。よって $\sin \theta -\cos \theta >0$。
$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=1-2\sin \theta \cos \theta =1+\frac{8}{9}=\frac{17}{9}$。
したがって $\sin \theta -\cos \theta =\frac{\sqrt{17}}{3}$。
検算：$\sin \theta =\frac{1+\sqrt{17}}{6}$、$\cos \theta =\frac{1-\sqrt{17}}{6}$。和は $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$、2乗の和は $\frac{(1+\sqrt{17}{)}^2+(1-\sqrt{17}{)}^2}{36}=\frac{36}{36}=1$。また $\sin \theta \approx 0.854<1$ で、条件を満たす。