図形と計量の問題

$\theta$ が条件を満たすので $\tan \theta \ne 0$ であり、$\sin \theta \ne 0$, $\cos \theta \ne 0$ である。

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ を用いると
$$\tan \theta +\frac{1}{\tan \theta }=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }+\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }{\sin \theta \cos \theta }=\frac{1}{\sin \theta \cos \theta }$$
となる。よって
$$\frac{1}{\sin \theta \cos \theta }=-\frac{13}{6}\text{より}\sin \theta \cos \theta =-\frac{6}{13}.$$

次に
$$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2={\sin }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =1-2\cdot \left(-\frac{6}{13}\right)=1+\frac{12}{13}=\frac{25}{13}.$$

符号を調べる。$0^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ より $\sin \theta >0$ である。$\sin \theta \cos \theta =-\frac{6}{13}<0$ なので $\cos \theta <0$ である。したがって $\sin \theta -\cos \theta >0$ である。

よって
$$\sin \theta -\cos \theta =\sqrt{\frac{25}{13}}=\frac{5}{\sqrt{13}}=\frac{5\sqrt{13}}{13}.$$

(確認) $6{\tan }^2\theta +13\tan \theta +6=0$ を解くと $\tan \theta =-\frac{2}{3},-\frac{3}{2}$ である。どちらの場合も $\{\sin \theta ,\cos \theta \}$ の値は $\left\{\frac{2}{\sqrt{13}},-\frac{3}{\sqrt{13}}\right\}$ または $\left\{\frac{3}{\sqrt{13}},-\frac{2}{\sqrt{13}}\right\}$ となり、いずれも $\sin \theta -\cos \theta =\frac{5}{\sqrt{13}}$ で一致する。

$\tan \theta +\frac{1}{\tan \theta }=\frac{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }{\sin \theta \cos \theta }=\frac{1}{\sin \theta \cos \theta }=-\frac{13}{6}$ より $\sin \theta \cos \theta =-\frac{6}{13}$。

$0^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ より $\sin \theta >0$。$\sin \theta \cos \theta <0$ より $\cos \theta <0$。よって $\sin \theta -\cos \theta >0$。

$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=1-2\sin \theta \cos \theta =1+\frac{12}{13}=\frac{25}{13}$。

よって $\sin \theta -\cos \theta =\frac{5}{\sqrt{13}}=\frac{5\sqrt{13}}{13}$。

検算: $\tan \theta =t$ とすると $t+1/t=-13/6$ より $6t^2+13t+6=0$、$t=-2/3$ または $-3/2$。$t=-3/2$ のとき $\sin \theta =3/\sqrt{13}$, $\cos \theta =-2/\sqrt{13}$ で $\sin \theta -\cos \theta =5/\sqrt{13}$。$t=-2/3$ のとき $\sin \theta =2/\sqrt{13}$, $\cos \theta =-3/\sqrt{13}$ で同じく $5/\sqrt{13}$。一致する。