図形と計量の問題

相互関係 $1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ より
$$\frac{1}{{\cos }^2\theta }-{\tan }^2\theta =1$$
である。左辺を因数分解すると
$$\left(\frac{1}{\cos \theta }-\tan \theta \right)\left(\frac{1}{\cos \theta }+\tan \theta \right)=1$$
となる。条件 $\frac{1}{\cos \theta }-\tan \theta =-\frac{1}{2}$ を代入すると
$$-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\cos \theta }+\tan \theta \right)=1\text{より}\frac{1}{\cos \theta }+\tan \theta =-2$$
である。

2 つの式
$$\frac{1}{\cos \theta }-\tan \theta =-\frac{1}{2},\frac{1}{\cos \theta }+\tan \theta =-2$$
の辺々を加えると $\frac{2}{\cos \theta }=-\frac{5}{2}$ となるから $\cos \theta =-\frac{4}{5}$。
辺々を引くと $2\tan \theta =-\frac{3}{2}$ となるから $\tan \theta =-\frac{3}{4}$。

よって
$$\sin \theta =\tan \theta \cos \theta =\left(-\frac{3}{4}\right)\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{3}{5}$$
である。$\sin \theta >0$，$\cos \theta <0$ なので $\theta$ は鈍角であり，$0^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ を満たす。

確認として $\frac{1}{\cos \theta }-\tan \theta =-\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}$ となり，条件に合う。

したがって
$$\sin \theta -\cos \theta =\frac{3}{5}-\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{7}{5}$$

左辺を通分すると $\frac{1-\sin \theta }{\cos \theta }=-\frac{1}{2}$ となる。$s=\sin \theta ,c=\cos \theta$ とおくと、$2(1-s)=-c$ より $c=2s-2$。これを $s^2+c^2=1$ に代入すると $s^2+4(s-1{)}^2=1$、すなわち $5s^2-8s+3=0$、$(5s-3)(s-1)=0$ となる。よって $s=1$ または $s=\frac{3}{5}$。$s=1$ のとき $\theta =90^{\circ }$ となり除外される。したがって $s=\frac{3}{5}$ で、$c=\frac{6}{5}-2=-\frac{4}{5}$。このとき $\theta$ は $90^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ にあり、条件を満たす。検算：$\frac{1-3/5}{-4/5}=\frac{2/5}{-4/5}=-\frac{1}{2}$ で成り立つ。よって $\sin \theta -\cos \theta =\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{7}{5}$。