図形と計量の問題

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ を代入して通分し，${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ を使う。
$$\tan \theta +\frac{1}{\tan \theta }=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }+\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }{\sin \theta \cos \theta }=\frac{1}{\sin \theta \cos \theta }$$
これが $-4$ に等しいので，
$$\sin \theta \cos \theta =-\frac{1}{4}$$
となる。

次に $\sin \theta -\cos \theta$ を求める。
$$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta =1-2\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{2}$$
符号を調べる。$0^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ より $\sin \theta >0$ である。さらに $\sin \theta \cos \theta <0$ なので $\cos \theta <0$ である。よって $\sin \theta -\cos \theta >0$ となり，
$$\sin \theta -\cos \theta =\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$

最後に因数分解の公式 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ を使う。
$${\sin }^3\theta -{\cos }^3\theta =(\sin \theta -\cos \theta )({\sin }^2\theta +\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta )=(\sin \theta -\cos \theta )(1+\sin \theta \cos \theta )$$
値を代入すると，
$${\sin }^3\theta -{\cos }^3\theta =\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot \left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{6}}{8}$$

（参考）条件を満たす $\theta$ は $105^{\circ }$ と $165^{\circ }$ の 2 つある。どちらの場合も求める値は同じになる。

$\tan \theta +\frac{1}{\tan \theta }=\frac{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }{\sin \theta \cos \theta }=\frac{1}{\sin \theta \cos \theta }=-4$ より $\sin \theta \cos \theta =-\frac{1}{4}$。

$0^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ より $\sin \theta >0$。積が負なので $\cos \theta <0$ となり、$\sin \theta -\cos \theta >0$。

$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=1-2\sin \theta \cos \theta =1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ より $\sin \theta -\cos \theta =\frac{\sqrt{6}}{2}$。

${\sin }^3\theta -{\cos }^3\theta =(\sin \theta -\cos \theta )(1+\sin \theta \cos \theta )=\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{6}}{8}$。

検算：$\tan \theta =-2+\sqrt{3}$ のとき $\theta \approx 165^{\circ }$。$\sin \theta \approx 0.2588$，$\cos \theta \approx -0.9659$ なので ${\sin }^3\theta -{\cos }^3\theta \approx 0.0173+0.9012=0.9186$。$\frac{3\sqrt{6}}{8}\approx 0.9186$ で一致する。