図形と計量の問題

手順 1：$\sin \theta \cos \theta$ の値を求める

与えられた式の両辺を 2 乗すると
$$(\sin \theta +\cos \theta {)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$$
左辺は ${\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta$ です。${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ なので
$$1+2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{4}$$
よって
$$\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-1\right)=-\frac{3}{8}$$

手順 2：$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2$ を求める

同じように展開して ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ を使うと
$$(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=1-2\sin \theta \cos \theta =1-2\cdot \left(-\frac{3}{8}\right)=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$$

手順 3：符号を決める

$0^{\circ }\le \theta \le 180^{\circ }$ では $\sin \theta \ge 0$ です。$\sin \theta \cos \theta =-\frac{3}{8}<0$ なので $\sin \theta \ne 0$、つまり $\sin \theta >0$ です。このとき積が負になるには $\cos \theta <0$ でなければなりません。

したがって $\sin \theta -\cos \theta >0$ です。

手順 4：値を求める

$\sin \theta -\cos \theta >0$ なので、手順 2 の値の正の平方根をとって
$$\sin \theta -\cos \theta =\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$$

$\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{2}$ の両辺を2乗すると $1+2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{4}$ なので、$2\sin \theta \cos \theta =-\frac{3}{4}$。

よって $(\sin \theta -\cos \theta {)}^2=1-2\sin \theta \cos \theta =1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$。

$0^{\circ }\le \theta \le 180^{\circ }$ より $\sin \theta \ge 0$。$\sin \theta \cos \theta <0$ なので $\sin \theta >0$ かつ $\cos \theta <0$。したがって $\sin \theta -\cos \theta >0$。

ゆえに $\sin \theta -\cos \theta =\frac{\sqrt{7}}{2}$。

検算: $\sin \theta =\frac{1/2+\sqrt{7}/2}{2}=\frac{1+\sqrt{7}}{4}\approx 0.911$、$\cos \theta =\frac{1-\sqrt{7}}{4}\approx -0.411$。${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta \approx 0.830+0.169=0.999\approx 1$ で、条件を満たす。和は $0.5$、差は $1.323\approx \sqrt{7}/2$。