三角比の定義と値

直角三角形と単位円で $sin θ$ , $cos θ$ , $tan θ$ を定め、 $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ の値と相互関係を使える

前提

特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）

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算数中学高校大学大学院

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特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
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三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）

説明

三角比は、角の大きさ $θ$ に「辺の比」を対応させたものです。 $sin θ$ （サイン）、 $cos θ$ （コサイン）、 $tan θ$ （タンジェント）の 3 種類があります。角と 1 辺がわかっている三角形では、これを使って残りの辺の長さや高さを計算できます。この技能では、直角三角形での定義を単位円（原点中心・半径 1 の円）に広げて $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ の角の値を求め、3 つの三角比の関係（相互関係）を使って 1 つの値から残りの値を求めます。

なぜそうしてよいのか

直角三角形で、直角でない 1 つの角を $θ$ とします。斜辺を $r$ 、 $θ$ の向かい側の辺（対辺）を $a$ 、 $θ$ をはさむ直角でない辺（隣辺）を $b$ とします。2 つの角が等しいので、角 $θ$ をもつ直角三角形はどれも相似です。したがって辺の比は三角形の大きさによらず、 $θ$ だけで決まります。そこで $sin θ = \frac{a}{r}$ , $cos θ = \frac{b}{r}$ , $tan θ = \frac{a}{b}$ と定めます。3 辺の比が $1 : 3 : 2$ の三角形（角は $3 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}$ ）からは、 $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}$ , $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $tan 6 0^{\circ} = 3$ が読み取れます。 $1 : 1 : 2$ の三角形（角は $4 5^{\circ}, 4 5^{\circ}, 9 0^{\circ}$ ）からは、 $sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $tan 4 5^{\circ} = 1$ が読み取れます。

斜辺を $r = 1$ にすると、 $sin θ$ と $cos θ$ は辺の長さそのものになります。座標平面に単位円をかき、 $x$ 軸の正の向きから反時計回りに $θ$ だけ回った円周上の点を $P (x, y)$ とします。 $θ$ が鋭角なら、P から $x$ 軸に垂線を下ろしてできる直角三角形は、斜辺が 1、隣辺が $x$ 、対辺が $y$ です。よって $cos θ = x$ , $sin θ = y$ , $tan θ = \frac{y}{x}$ です。この形は $θ$ が $0^{\circ}$ や $9 0^{\circ}$ 以上のときでも意味をもちます。そこで $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ のすべての角について $cos θ = x$ , $sin θ = y$ と定め、 $tan θ = \frac{y}{x}$ は $x \neq = 0$ 、つまり $θ \neq = 9 0^{\circ}$ のときだけ定めます。この定義から、P $(1, 0)$ より $sin 0^{\circ} = 0$ , $cos 0^{\circ} = 1$ , $tan 0^{\circ} = 0$ です。P $(0, 1)$ より $sin 9 0^{\circ} = 1$ , $cos 9 0^{\circ} = 0$ です。P $(- 1, 0)$ より $sin 18 0^{\circ} = 0$ , $cos 18 0^{\circ} = - 1$ , $tan 18 0^{\circ} = 0$ です。鈍角では P が第 2 象限（ $x < 0$ , $y > 0$ ）にあるので、 $cos θ < 0$ , $tan θ < 0$ です。また $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ では、いつも $sin θ \geq 0$ です。角 $18 0^{\circ} - θ$ に対応する点は、P と $y$ 軸について対称な点 $(- x, y)$ です。このことから $sin (18 0^{\circ} - θ) = sin θ$ , $cos (18 0^{\circ} - θ) = - cos θ$ が成り立ち、 $θ \neq = 9 0^{\circ}$ なら $tan (18 0^{\circ} - θ) = \frac{y}{- x} = - tan θ$ も成り立ちます。

点 P は半径 1 の円の上にあるので、三平方の定理から $x^{2} + y^{2} = 1$ です。これを三角比で書くと $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ になります（ $sin^{2} θ$ は $(sin θ)^{2}$ の意味です）。定義から $tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$ も成り立ちます。さらに $cos θ \neq = 0$ のとき、 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ の両辺を $cos^{2} θ$ で割ると $tan^{2} θ + 1 = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$ が得られます。この 3 つの関係（相互関係）を使えば、三角比のうち 1 つの値から残りの値を求められます。ただし、2 乗の関係から値を求めると符号が決まりません。符号は、P がどの象限にあるかで決めます。

手順

単位円の上に、 $x$ 軸の正の向きから角 $θ$ だけ回った点 $P (x, y)$ をとる（鋭角なら、直角三角形の対辺・隣辺・斜辺で考えてもよい）
定義を当てはめる: $cos θ = x$ , $sin θ = y$ , $tan θ = \frac{y}{x}$ （ただし $θ \neq = 9 0^{\circ}$ ）。 $3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}$ の値は、 $1 : 3 : 2$ と $1 : 1 : 2$ の三角形から読み取る
鈍角は $sin (18 0^{\circ} - θ) = sin θ$ , $cos (18 0^{\circ} - θ) = - cos θ$ , $tan (18 0^{\circ} - θ) = - tan θ$ を使って鋭角の値に直す
三角比の 1 つの値がわかっているときは、相互関係 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ , $tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$ , $1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$ に代入する
平方根をとるときは、 $θ$ の範囲から符号を決める（ $0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$ ではすべて正、 $9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ では $sin θ > 0$ , $cos θ < 0$ , $tan θ < 0$ ）

例題

$9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ で $sin θ = \frac{1}{3}$ のとき、 $cos θ$ の値を求めよ。

例題の解答

（手順 4） $sin θ$ がわかっているので、相互関係 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ に代入します。 $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ = 1 - (\frac{1}{3})^{2} = \frac{8}{9}$ よって $cos θ = \pm \frac{8}{9} = \pm \frac{2 2}{3}$ です。
（手順 5） $9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ なので、単位円上の点 P は第 2 象限にあり、 $x$ 座標は負です。つまり $cos θ < 0$ です。
したがって $cos θ = - \frac{2 2}{3}$ です。

答え: $- \frac{2 2}{3}$

よくある誤り

鈍角でも $cos θ$ を正のまま答えてしまう誤り。正しくは、 $9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ では点 P の $x$ 座標が負なので $cos θ < 0$ である。たとえば $cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ であり、 $\frac{1}{2}$ ではない
$cos θ$ から $sin θ$ を求めるときに、 $sin θ = \pm \dots$ と 2 つ答えてしまう誤り。正しくは、 $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ では P の $y$ 座標が $0$ 以上なので $sin θ \geq 0$ であり、正の方だけをとる。例: $cos θ = - \frac{3}{5}$ なら $sin^{2} θ = \frac{16}{25}$ より $sin θ = \frac{4}{5}$
$tan 9 0^{\circ}$ に値があると思ってしまう誤り。正しくは、 $θ = 9 0^{\circ}$ のとき $x = 0$ となり、 $\frac{y}{x}$ が $0$ で割る形になるので、 $tan 9 0^{\circ}$ は定義されない。同じ理由で、 $1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$ も $cos θ \neq = 0$ のときだけ使える
直角三角形で、どの辺の比が sin・cos・tan かを取り違える誤り（例: $sin θ = \frac{隣辺}{斜辺}$ とする）。正しくは $sin θ = \frac{対辺}{斜辺}$ , $cos θ = \frac{隣辺}{斜辺}$ , $tan θ = \frac{対辺}{隣辺}$ である。迷ったら単位円で $cos θ = x$ , $sin θ = y$ となることを確かめる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

正弦定理・余弦定理と三角形の面積（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
三角比を含む方程式・不等式（数学I 図形と計量）
$sin θ$ と $cos θ$ の対称式（数学I 図形と計量）
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
屈折の法則と屈折率（高校物理波動）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
ブラッグ反射（高校物理原子）
速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）
地磁気の三要素（高校地学地球の形と内部構造）
走向・傾斜と地層の深さ（高校地学地層と地球の歴史）
最大離角と内惑星の軌道半径（高校地学太陽系と天体の運動）
棒の影の長さと太陽高度（高校地学太陽系と天体の運動）
形態係数（大学物理熱工学・伝熱）