図形と計量の問題

ステップ 1: $180^{\circ }-\theta$ の公式で書き換える

$\tan (180^{\circ }-\theta )=-\tan \theta$ より、$k=91,\dots ,179$ に対して $j=180-k$ とおくと
$$\tan k^{\circ }=\tan (180^{\circ }-j^{\circ })=-\tan j^{\circ }$$
であり、$j$ は $89,88,\dots ,1$ をとる。よって
$$\frac{1}{1-\tan k^{\circ }}=\frac{1}{1+\tan j^{\circ }}$$
となり
$$S=\frac{1}{1+\tan 1^{\circ }}+\frac{1}{1+\tan 2^{\circ }}+\cdots +\frac{1}{1+\tan 89^{\circ }}$$
($1^{\circ }\leqq j^{\circ }\leqq 89^{\circ }$ では $\tan j^{\circ }>0$ なので分母は $0$ にならない。)

ステップ 2: $90^{\circ }-\theta$ の公式で 2 項ずつ組にする

$0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$ のとき $\tan (90^{\circ }-\theta )=\frac{1}{\tan \theta }$ である。$t=\tan \theta$ とおくと
$$\frac{1}{1+\tan \theta }+\frac{1}{1+\tan (90^{\circ }-\theta )}=\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1+\frac{1}{t}}=\frac{1}{1+t}+\frac{t}{t+1}=1$$

そこで $j$ と $90-j$ を組にする。$j=1,2,\dots ,44$ をそれぞれ $89,88,\dots ,46$ と組にすると、$44$ 組でそれぞれの和は $1$。残るのは $j=45$ の項で
$$\frac{1}{1+\tan 45^{\circ }}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$$

したがって
$$S=44\cdot 1+\frac{1}{2}=\frac{89}{2}$$

$k$ と $270-k$ を組にする。$k=91,\dots ,179$ のとき $270-k=179,\dots ,91$ で同じ範囲に収まる。$t=\tan k^{\circ }$ とおくと $\tan (270^{\circ }-k^{\circ })=\frac{1}{t}$（$\tan (270^{\circ }-\theta )=\cot \theta$）。$91\leqq k\leqq 179$ では $t<0$ なので $t\ne 0,1$ であり、各項は定義できる。
$\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1-\frac{1}{t}}=\frac{1}{1-t}+\frac{t}{t-1}=\frac{1-t}{1-t}=1$。
$k=135$ は自分自身と組になり、$\tan 135^{\circ }=-1$ より $\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$。残りの $88$ 個は $44$ 組で、各組の和は $1$ なので $44$。よって $S=44+\frac{1}{2}=\frac{89}{2}$。検算: 例えば $k=91$ と $179$ は $\tan 91^{\circ }\approx -57.29$, $\tan 179^{\circ }\approx -0.01746$ で、$\frac{1}{58.29}+\frac{1}{1.01746}\approx 0.01716+0.98284=1$ となり確かに 1。