図形と計量の問題

$t=\sin \theta$ とおく。$0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ より $0\leqq t\leqq 1$ である。

$t$ と $\theta$ の対応
- $0\leqq t<1$ のとき、$\sin \theta =t$ を満たす $\theta$ は $2$ 個ある（$t=0$ なら $\theta =0^{\circ },180^{\circ }$。$0<t<1$ なら $\theta$ と $180^{\circ }-\theta$）。
- $t=1$ のとき、$\theta =90^{\circ }$ の $1$ 個だけである。

方程式の変形
${\cos }^2\theta =1-t^2$ を代入すると
$$1-t^2+(a-2)t+a-4=0$$
$$t^2-(a-2)t-a+3=0$$
となる。さらに $s=t+1$ とおくと $1\leqq s\leqq 2$ であり、$t=s-1$ を代入して
$$(s-1{)}^2-(a-2)(s-1)-a+3=0$$
$$s^2-2s+1-(a-2)s+a-2-a+3=0$$
$$s^2-as+2=0(1)$$
を得る。$s$ と $t$ は $1$ 対 $1$ に対応し、$s=2$ が $t=1$（$\theta$ は $1$ 個）、$1\leqq s<2$ が $0\leqq t<1$（$\theta$ は $2$ 個ずつ）に対応する。

$(1)$ の解が $1\leqq s\leqq 2$ にあるかどうか
$(1)$ の $2$ つの解の積は $2$ なので、$s$ が $(1)$ の解ならば $\frac{2}{s}$ も $(1)$ の解である（重解のときは $s=\frac{2}{s}=\sqrt{2}$）。$1\leqq s\leqq 2⟺1\leqq \frac{2}{s}\leqq 2$ であるから、$(1)$ の解は「$2$ つとも $1\leqq s\leqq 2$ にある」か「どちらも $1\leqq s\leqq 2$ にない」かのどちらかである。

$h(s)=s^2-as+2$ とおく。$2$ つの解（重解を含む）がともに $1\leqq s\leqq 2$ にある条件は
- 判別式 $D=a^2-8\geqq 0$
- 軸 $1<\frac{a}{2}<2$
- $h(1)=3-a\geqq 0$
- $h(2)=6-2a\geqq 0$

である。$a^2\geqq 8$ と $2<a<4$ から $a\geqq 2\sqrt{2}$、$h(1)\geqq 0$ と $h(2)\geqq 0$ から $a\leqq 3$。よって $2\sqrt{2}\leqq a\leqq 3$ である。

$\theta$ の個数
- $a<2\sqrt{2}$ または $a>3$ のとき：$1\leqq s\leqq 2$ に解はなく、$\theta$ は $0$ 個。
- $a=2\sqrt{2}$ のとき：重解 $s=\sqrt{2}$、すなわち $t=\sqrt{2}-1$ で、$0<t<1$ だから $\theta$ は $2$ 個。
- $2\sqrt{2}<a<3$ のとき：$h(1)>0$, $h(2)>0$ なので異なる $2$ 解はともに $1<s<2$、すなわち $0<t<1$ にあり、$\theta$ は $2+2=4$ 個。
- $a=3$ のとき：$s^2-3s+2=(s-1)(s-2)=0$ より $s=1,2$、すなわち $t=0,1$。$t=0$ から $\theta =0^{\circ },180^{\circ }$、$t=1$ から $\theta =90^{\circ }$ で、$\theta$ は $3$ 個。

したがって、$\theta$ の個数が $3$ 個以上となるのは
$$2\sqrt{2}<a\leqq 3$$
のときである。

$s=\sin \theta$ とおくと、$0^{\circ }\le \theta \le 180^{\circ }$ より $0\le s\le 1$。${\cos }^2\theta =1-s^2$ なので、方程式は $1-s^2+(a-2)s+a-4=0$、すなわち $s^2-(a-2)s-a+3=0$ となる。

整理すると $a(s+1)=s^2+2s+3$ で、$s+1>0$ だから $a=(s+1)+\frac{2}{s+1}$。

$t=s+1$ ($1\le t\le 2$) とおき、$f(t)=t+\frac{2}{t}$ とする。$f(1)=3$、$f(\sqrt{2})=2\sqrt{2}$、$f(2)=3$ で、$f$ は $1\le t\le \sqrt{2}$ で減少、$\sqrt{2}\le t\le 2$ で増加する。

$\theta$ の個数は $s$ の値ごとに次のようになる。
- $s=0$ のとき $\theta =0^{\circ },180^{\circ }$ の 2 個
- $0<s<1$ のとき 2 個
- $s=1$ のとき $\theta =90^{\circ }$ の 1 個

$a$ の値で場合分けする。
- $a=3$: $t=1,2$、すなわち $s=0,1$。$\theta =0^{\circ },90^{\circ },180^{\circ }$ の 3 個で条件を満たす。
- $2\sqrt{2}<a<3$: $s$ が $0<s<1$ の範囲に異なる 2 解をもつので、$\theta$ は 4 個で条件を満たす。
- $a=2\sqrt{2}$: $s=\sqrt{2}-1$ の 1 つだけなので $\theta$ は 2 個で不適。
- $a<2\sqrt{2}$ または $a>3$: 解なしで不適。

検算：$a=3$ のとき $s^2-s=0$ より $s=0,1$ で上の通り 3 個になる。

よって $2\sqrt{2}<a\le 3$。