三角比を含む方程式・不等式

$0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ で、相互関係を使って $sin θ$ または $cos θ$ だけの式に直し、 $2 cos^{2} θ + sin θ - 2 = 0$ や $2 sin θ - 1 > 0$ のような方程式・不等式を解いて $θ$ を求められる

前提

三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
2 次不等式（数学I 2次関数）
2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）

説明

$sin θ$ と $cos θ$ が混ざった方程式・不等式を、相互関係 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ を使って $sin θ$ だけ、または $cos θ$ だけの式に直して解く技能です。 $sin θ = t$ などと置くと 2 次方程式・2 次不等式になるので、まず $t$ について解きます。そのあと単位円を使って、 $t$ の値や範囲を角 $θ$ の値や範囲に戻します。 $θ$ の範囲は $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ で考えます。

なぜそうしてよいのか

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ はどんな $θ$ でも成り立ちます。そのため $cos^{2} θ$ を $1 - sin^{2} θ$ に、 $sin^{2} θ$ を $1 - cos^{2} θ$ に置きかえても、式が表す条件は変わりません。1 種類の三角比だけの式にすれば、それを 1 つの文字 $t$ と見て、2 次方程式・2 次不等式の解き方がそのまま使えます。ただし $t$ はどんな実数にもなれるわけではありません。単位円の上半分の点 $P (cos θ, sin θ)$ を考えると、 $- 1 \leq cos θ \leq 1$ 、 $0 \leq sin θ \leq 1$ です。方程式なら、この範囲に入らない $t$ の解は捨てます。不等式なら、 $t$ の不等式の解とこの範囲の共通部分をとります。例えば $t = sin θ$ で $2 t^{2} - 3 t + 1 > 0$ を解くと $(2 t - 1) (t - 1) > 0$ より $t < \frac{1}{2}$ または $t > 1$ ですが、 $0 \leq t \leq 1$ との共通部分は $0 \leq t < \frac{1}{2}$ だけです。

$t$ から $θ$ に戻すときも単位円を使います。 $cos θ = t$ なら、直線 $x = t$ と上半円の交点は 1 つだけなので $θ$ も 1 つです。 $sin θ = t$ $(0 < t < 1)$ なら、直線 $y = t$ と上半円の交点は左右に 2 つあり、角は $α$ と $18 0^{\circ} - α$ の 2 つです（ $t = 1$ なら $9 0^{\circ}$ だけ、 $t = 0$ なら $0^{\circ}$ と $18 0^{\circ}$ ）。

不等式では、条件を満たす点が上半円のどの弧に並ぶかを読みます。 $0 < k < 1$ とし、 $sin α = k$ $(0^{\circ} < α < 9 0^{\circ})$ とします。 $sin θ > k$ は「点が直線 $y = k$ より上」なので、真ん中の弧 $α < θ < 18 0^{\circ} - α$ です。例えば $2 sin θ - 1 > 0$ は $sin θ > \frac{1}{2}$ なので $3 0^{\circ} < θ < 15 0^{\circ}$ です。反対に $sin θ < k$ は「直線 $y = k$ より下」なので、左右の端の 2 つの弧 $0^{\circ} \leq θ < α$ 、 $18 0^{\circ} - α < θ \leq 18 0^{\circ}$ になります。例えば $sin θ < \frac{1}{2}$ は $0^{\circ} \leq θ < 3 0^{\circ}, 15 0^{\circ} < θ \leq 18 0^{\circ}$ です。 $cos$ の場合は、 $θ$ が $0^{\circ}$ から $18 0^{\circ}$ へ増えると点は右端から左端へ動き、 $cos θ$ は減り続けます。そのため $cos α = k$ $(0^{\circ} < α < 18 0^{\circ})$ のとき、 $cos θ > k$ は $0^{\circ} \leq θ < α$ 、 $cos θ < k$ は $α < θ \leq 18 0^{\circ}$ の 1 つの弧になります。

手順

式に $sin θ$ と $cos θ$ が混ざっていたら、相互関係で 1 種類にそろえる。1 次の項として残っている方の三角比に合わせる（例: $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ ）
そろえた三角比を $t$ と置き、 $t$ の範囲を書く（ $t = cos θ$ なら $- 1 \leq t \leq 1$ 、 $t = sin θ$ なら $0 \leq t \leq 1$ ）
$t$ の 2 次方程式（または 2 次不等式）を、因数分解や解の公式、グラフを使って解く
方程式なら、求めた $t$ のうち手順 2 の範囲に入るものだけを残す。不等式なら、 $t$ の解と手順 2 の範囲の共通部分をとる
方程式なら、単位円の上半分で $x$ 座標（ $cos$ ）または $y$ 座標（ $sin$ ）が $t$ になる点を探し、 $θ$ を求める（ $sin$ は $0 < t < 1$ のとき $α$ と $18 0^{\circ} - α$ の 2 つ）
不等式なら、境目の角を求めてから条件を満たす弧を読む。 $sin θ > k$ は $α < θ < 18 0^{\circ} - α$ 、 $sin θ < k$ は $0^{\circ} \leq θ < α$ と $18 0^{\circ} - α < θ \leq 18 0^{\circ}$ 、 $cos θ > k$ は $0^{\circ} \leq θ < α$ 、 $cos θ < k$ は $α < θ \leq 18 0^{\circ}$

例題

$0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ のとき、方程式 $2 sin^{2} θ - cos θ - 1 = 0$ を満たす $θ$ をすべて求めよ。

例題の解答

手順 1：1 次の項は $cos θ$ なので、 $cos θ$ にそろえる。 $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ を代入すると $2 (1 - cos^{2} θ) - cos θ - 1 = 0$ となり、整理して $- 2 cos^{2} θ - cos θ + 1 = 0$ 、両辺に $- 1$ を掛けて $2 cos^{2} θ + cos θ - 1 = 0$ を得る。
手順 2： $t = cos θ$ と置く。 $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ より $- 1 \leq t \leq 1$ である。方程式は $2 t^{2} + t - 1 = 0$ となる。
手順 3：左辺を因数分解すると $(2 t - 1) (t + 1) = 0$ なので、 $t = \frac{1}{2}, - 1$ である。
手順 4（方程式）：どちらも $- 1 \leq t \leq 1$ を満たすので、両方とも残す。
手順 5（方程式）： $cos θ = \frac{1}{2}$ のとき、単位円の上半分で $x$ 座標が $\frac{1}{2}$ の点は 1 つだけで、 $θ = 6 0^{\circ}$ である。 $cos θ = - 1$ のとき、その点は $(- 1, 0)$ なので $θ = 18 0^{\circ}$ である。
（手順 6 は不等式のときだけ使うので、ここでは使わない。）
よって $θ = 6 0^{\circ}, 18 0^{\circ}$ 。

答え: $6 0^{\circ}, 18 0^{\circ}$

よくある誤り

$t$ の範囲を考え忘れる誤り。方程式で $t = sin θ$ について $t = \frac{1}{2}, - 1$ が出ても、 $0 \leq sin θ \leq 1$ なので $sin θ = - 1$ は不適である。不等式でも同じで、 $2 t^{2} - 3 t + 1 > 0$ の解 $t < \frac{1}{2}$ または $t > 1$ をそのまま使うのは誤り。正しくは $0 \leq t \leq 1$ との共通部分 $0 \leq sin θ < \frac{1}{2}$ を使う。
$sin θ = \frac{1}{2}$ から $θ = 3 0^{\circ}$ だけを答えてしまう誤り。直線 $y = \frac{1}{2}$ と上半円の交点は 2 つあるので、正しくは $θ = 3 0^{\circ}, 15 0^{\circ}$ である。
$sin θ < \frac{1}{2}$ を $0^{\circ} \leq θ < 3 0^{\circ}$ だけ、または $3 0^{\circ} < θ < 15 0^{\circ}$ としてしまう誤り。直線 $y = \frac{1}{2}$ より下にある点は左右の端の 2 つの弧にあるので、正しくは $0^{\circ} \leq θ < 3 0^{\circ}, 15 0^{\circ} < θ \leq 18 0^{\circ}$ である（ $3 0^{\circ} < θ < 15 0^{\circ}$ は $sin θ > \frac{1}{2}$ の解）。
$cos$ の不等式で、角の向きを逆に読んでしまう誤り。例えば $cos θ > \frac{1}{2}$ を $6 0^{\circ} < θ \leq 18 0^{\circ}$ としてしまう。 $θ$ が大きくなるほど $cos θ$ は小さくなるので、正しくは $0^{\circ} \leq θ < 6 0^{\circ}$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

置き換えによる方程式の解の個数（数学I 図形と計量）
三角関数の基本的な方程式・不等式（数学II 三角関数）