三角関数の基本的な方程式・不等式

$0 ≦ x < 2 π$ で単位円やグラフを使い、 $sin x = \frac{1}{2}$ , $cos x < - \frac{2}{2}$ , $tan x ≧ 1$ のような方程式・不等式を解ける。 $sin (x + \frac{π}{6}) > \frac{2}{2}$ や $cos 2 x = \frac{1}{2}$ では、まず $x + \frac{π}{6}$ や $2 x$ のとりうる範囲を求めてから解ける

前提

弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
三角比を含む方程式・不等式（数学I 図形と計量）

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算数中学高校大学大学院

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三角比を含む方程式・不等式（数学I 図形と計量）

説明

$0 ≦ x < 2 π$ のように範囲を決めたとき、 $sin x = \frac{1}{2}$ をみたす角 $x$ をすべて求めたり、 $cos x < - \frac{2}{2}$ や $tan x ≧ 1$ をみたす $x$ の範囲を求めたりできるようになります。単位円の上で、条件をみたす点の位置を読み取って解きます。 $sin (x + \frac{π}{6})$ や $cos 2 x$ のように角がひとかたまりの式になっていても、そのかたまりを 1 つの角とみて、とりうる範囲を先に求めれば同じように解けます。三角関数のグラフの交点や、もっと複雑な三角関数の方程式・不等式を解くときの土台になります。

なぜそうしてよいのか

単位円（原点 $O$ が中心で半径 $1$ の円）の上で、 $x$ 軸の正の向きから角 $x$ だけ回った点を $P$ とすると、 $P$ の座標は $(cos x, sin x)$ です。したがって $sin x = k$ は「 $P$ が直線 $y = k$ 上にある」、 $sin x > k$ は「 $P$ が直線 $y = k$ より上にある」と言いかえられます。同じように $cos x$ は $P$ の $x$ 座標なので、直線 $x = k$ より右か左かで判断できます。こうして方程式は「円と直線の交点」、不等式は「円のうち条件をみたす弧」の問題になり、交点の角は $\frac{π}{6}$ や $\frac{π}{4}$ のように三角比の値を知っている角から読み取れます。

$tan x = \frac{sin x}{cos x}$ は直線 $OP$ の傾きです（ $P$ が $y$ 軸上にある $x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$ では定義されません）。 $tan x = k$ をみたす $P$ は、原点と点 $(1, k)$ を通る直線と円の 2 つの交点で、その角は $π$ だけ違います。不等式では傾きの変わり方を見ます。 $P$ が $y$ 軸のすぐ先（たとえば $x = - \frac{π}{2}$ のすぐ後）から反時計回りに進んで次に $y$ 軸にぶつかる（ $x = \frac{π}{2}$ ）までの間、直線 $OP$ はだんだん立ち上がり、傾きは増え続けます。 $\frac{π}{2}$ から $\frac{3 π}{2}$ の間も同じです。よって $tan x ≧ k$ をみたすのは「交点から反時計回りに進み、 $y$ 軸にぶつかる手前まで」の弧、 $tan x < k$ は「 $y$ 軸のすぐ先から交点の手前まで」の弧です。たとえば $tan x ≧ 1$ なら交点は $x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$ なので、 $\frac{π}{4} ≦ x < \frac{π}{2}, \frac{5 π}{4} ≦ x < \frac{3 π}{2}$ となります。

角が $x + \frac{π}{6}$ や $2 x$ のときは、 $θ = x + \frac{π}{6}$ などとおくと $θ$ についての同じ形の問題になります。ただし $θ$ の範囲は $0 ≦ θ < 2 π$ ではなくなります。たとえば $0 ≦ x < 2 π$ なら $0 ≦ 2 x < 4 π$ で、単位円をちょうど 2 周します。三角関数は周期 $2 π$ をもち、角が $2 π$ 違えば $P$ は同じ位置に来ます。そのため、1 周目で見つけた角に $2 π$ を足した角も、範囲に入っていれば解になります。

手順

角がひとかたまりの式（ $x + α$ や $2 x$ など）なら $θ$ とおき、 $x$ の範囲から $θ$ のとりうる範囲を求める。例: $0 ≦ x < 2 π$ で $θ = x + \frac{π}{6}$ なら $\frac{π}{6} ≦ θ < \frac{13 π}{6}$
単位円に境目の直線をかく。 $sin θ = k$ なら直線 $y = k$ 、 $cos θ = k$ なら直線 $x = k$ 、 $tan θ = k$ なら原点と点 $(1, k)$ を通る直線
円と直線の交点にあたる角を、 $θ$ の範囲の中ですべて求める。範囲が 1 周を超えるときは、見つけた角に $2 π$ を足した角も範囲に入るか調べる
不等式なら条件をみたす弧を選ぶ。 $sin$ は直線より上か下か、 $cos$ は直線より右か左か。 $tan θ ≧ k$ は各交点から反時計回りに $y$ 軸（ $θ = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$ の位置）の手前まで、 $tan θ < k$ は $y$ 軸のすぐ先から交点の手前まで（例: $tan θ ≧ 1$ は $\frac{π}{4} ≦ θ < \frac{π}{2}, \frac{5 π}{4} ≦ θ < \frac{3 π}{2}$ ）
弧の両端の角を不等号でつなぐ。等号を含むかどうか、 $tan$ が定義されない角を除いたか、弧が $θ = 0$ の位置をまたぐなら範囲を分けたかを確認する
$θ$ を元の式に戻して $x$ の値や範囲を求める

例題

$0 ≦ x < 2 π$ のとき、不等式 $sin (x + \frac{π}{6}) > \frac{2}{2}$ を解け。

例題の解答

手順1: $θ = x + \frac{π}{6}$ とおく。 $0 ≦ x < 2 π$ の各辺に $\frac{π}{6}$ を足して、 $\frac{π}{6} ≦ θ < \frac{13 π}{6}$ 。不等式は $sin θ > \frac{2}{2}$ になる。

手順2: 単位円に直線 $y = \frac{2}{2}$ をかく。

手順3: 円と直線の交点の角は、1 周の中では $θ = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$ 。どちらも $\frac{π}{6} ≦ θ < \frac{13 π}{6}$ に入る。 $2 π$ を足した $\frac{9 π}{4} = \frac{27 π}{12}$ は $\frac{13 π}{6} = \frac{26 π}{12}$ 以上なので範囲に入らない。

手順4: $sin θ$ は点 $P$ の $y$ 座標なので、直線より上にある弧を選ぶ。その弧は $θ = \frac{π}{4}$ から $\frac{3 π}{4}$ までの部分で、範囲 $\frac{π}{6} ≦ θ < \frac{13 π}{6}$ の中にある。

手順5: 不等号に等号がないので両端は含まず、 $\frac{π}{4} < θ < \frac{3 π}{4}$ 。

手順6: $θ = x + \frac{π}{6}$ を戻すと $\frac{π}{4} < x + \frac{π}{6} < \frac{3 π}{4}$ 。各辺から $\frac{π}{6}$ を引いて $\frac{π}{12} < x < \frac{7 π}{12}$ 。

答え: $\frac{π}{12} < x < \frac{7 π}{12}$

よくある誤り

$cos 2 x = \frac{1}{2}$ （ $0 ≦ x < 2 π$ ）で、 $2 x$ の範囲を $0 ≦ 2 x < 2 π$ のままにして $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$ だけを答えてしまう誤り。正しくは $0 ≦ 2 x < 4 π$ なので $2 x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}, \frac{7 π}{3}, \frac{11 π}{3}$ となり、 $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$ 。
$tan x ≧ 1$ （ $0 ≦ x < 2 π$ ）を $\frac{π}{4} ≦ x ≦ \frac{5 π}{4}$ のように交点の角どうしをつないだり、 $\frac{π}{2}$ を含めたりしてしまう誤り。傾きは $\frac{π}{2}$ を越えると負になり、 $x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$ では $tan x$ が定義されない。正しくは $\frac{π}{4} ≦ x < \frac{π}{2}, \frac{5 π}{4} ≦ x < \frac{3 π}{2}$ 。
$sin x < \frac{1}{2}$ （ $0 ≦ x < 2 π$ ）を、交点の角をそのまま並べて $\frac{5 π}{6} < x < \frac{π}{6}$ のように書いてしまう誤り。条件をみたす弧は $x = 0$ の位置をまたいでいるので、範囲を 2 つに分ける。正しくは $0 ≦ x < \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6} < x < 2 π$ 。
$cos x < - \frac{2}{2}$ （ $0 ≦ x < 2 π$ ）で、 $sin$ と同じように直線より上か下かで考えて $\frac{5 π}{4} < x < 2 π$ などとしてしまう誤り。 $cos x$ は点 $P$ の $x$ 座標なので、直線 $x = - \frac{2}{2}$ より左の弧を選ぶ。正しくは $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

2 次式に帰着する三角方程式・不等式（数学II 三角関数）
$sin^{2} x$ , $sin x cos x$ , $cos^{2} x$ の式の変形（数学II 三角関数）
置き換えによる三角関数の最大・最小（数学II 三角関数）
単振動の位相と経過時間（高校物理円運動・単振動・万有引力）