三角関数の問題

一般角 $\alpha$ の動径が $x$ 軸より上側（$y>0$ の部分）にあるための条件は、ある整数 $k$ を用いて
$$2k\pi <\alpha <(2k+1)\pi$$
と表せることである（動径が $x$ 軸上にあるのは $\alpha$ が $\pi$ の整数倍のときなので、端は含まない）。

$(1)$ 角 $\theta$ について。$0\leqq \theta <2\pi$ なので、条件は
$$0<\theta <\pi$$
である。以下、この範囲で考える。

$(2)$ 角 $3\theta$ について。$0<\theta <\pi$ より $0<3\theta <3\pi$ であり、この範囲で $2k\pi <3\theta <(2k+1)\pi$ となるのは $k=0,1$ のときで
$$0<3\theta <\pi \text{or}2\pi <3\theta <3\pi$$
すなわち
$$0<\theta <\frac{\pi }{3}\text{or}\frac{2}{3}\pi <\theta <\pi$$
である。

$(3)$ 角 $9\theta$ について。$0<\theta <\pi$ より $0<9\theta <9\pi$ であり、条件は $k=0,1,2,3,4$ のいずれかについて
$$2k\pi <9\theta <(2k+1)\pi ⟺\frac{2k}{9}\pi <\theta <\frac{2k+1}{9}\pi$$
となることである。具体的には
$$0<\theta <\frac{\pi }{9},\frac{2}{9}\pi <\theta <\frac{3}{9}\pi ,\frac{4}{9}\pi <\theta <\frac{5}{9}\pi ,\frac{6}{9}\pi <\theta <\frac{7}{9}\pi ,\frac{8}{9}\pi <\theta <\pi$$
のいずれかである。

$(2)$ の範囲を $\frac{\pi }{9}$ を単位にして書くと $0<\theta <\frac{3}{9}\pi$ または $\frac{6}{9}\pi <\theta <\frac{9}{9}\pi$ である。これと $(3)$ の共通部分をとる。

• $0<\theta <\frac{3}{9}\pi$ との共通部分は $0<\theta <\frac{\pi }{9}$ と $\frac{2}{9}\pi <\theta <\frac{\pi }{3}$
• $\frac{6}{9}\pi <\theta <\pi$ との共通部分は $\frac{2}{3}\pi <\theta <\frac{7}{9}\pi$ と $\frac{8}{9}\pi <\theta <\pi$

（$\frac{4}{9}\pi <\theta <\frac{5}{9}\pi$ は $(2)$ の範囲に含まれない。）

確認として、たとえば $\theta =\frac{5}{18}\pi$ のとき $3\theta =\frac{5}{6}\pi$、$9\theta =\frac{5}{2}\pi =2\pi +\frac{\pi }{2}$ で、どの動径も $y>0$ の部分にある。

よって求める範囲は
$$0<\theta <\frac{\pi }{9},\frac{2}{9}\pi <\theta <\frac{\pi }{3},\frac{2}{3}\pi <\theta <\frac{7}{9}\pi ,\frac{8}{9}\pi <\theta <\pi$$
である。

動径が $x$ 軸より上側にある条件は、各角の正弦が正であること。よって $\sin \theta >0$, $\sin 3\theta >0$, $\sin 9\theta >0$。

(1) $0\leqq \theta <2\pi$ で $\sin \theta >0$ より $0<\theta <\pi$。

(2) このとき $0<3\theta <3\pi$。$\sin 3\theta >0$ となるのは $0<3\theta <\pi$ または $2\pi <3\theta <3\pi$、すなわち $0<\theta <\frac{\pi }{3}$ または $\frac{2\pi }{3}<\theta <\pi$。

(3) $0<\theta <\frac{\pi }{3}$ のとき $0<9\theta <3\pi$。$\sin 9\theta >0$ となるのは $0<9\theta <\pi$ または $2\pi <9\theta <3\pi$、すなわち $0<\theta <\frac{\pi }{9}$ または $\frac{2\pi }{9}<\theta <\frac{\pi }{3}$。

(4) $\frac{2\pi }{3}<\theta <\pi$ のとき $6\pi <9\theta <9\pi$。$\sin 9\theta >0$ となるのは $6\pi <9\theta <7\pi$ または $8\pi <9\theta <9\pi$、すなわち $\frac{2\pi }{3}<\theta <\frac{7\pi }{9}$ または $\frac{8\pi }{9}<\theta <\pi$。

検算: $\theta =\frac{\pi }{18}$ では $\sin \frac{\pi }{18}>0$, $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}>0$, $\sin \frac{\pi }{2}=1>0$ で条件を満たす。$\theta =\frac{\pi }{6}$ では $\sin \frac{3\pi }{2}=-1<0$ で不適(範囲外と整合)。$\theta =\frac{\pi }{9}$ では $\sin \pi =0$ で $y>0$ を満たさず除外(端は含まない)。

よって $0<\theta <\frac{\pi }{9},\frac{2\pi }{9}<\theta <\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}<\theta <\frac{7\pi }{9},\frac{8\pi }{9}<\theta <\pi$。