三角関数の問題

直線 $y=x$ に関する対称移動と角の関係

角 $\alpha$ の動径上で、原点からの距離が $1$ の点は $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ である。この点を直線 $y=x$ に関して対称移動すると、$x$ 座標と $y$ 座標が入れかわり $(\sin \alpha ,\cos \alpha )$ になる。

ここで
$$\sin \alpha =\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right),\cos \alpha =\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$$
であるから、移った点は角 $\frac{\pi }{2}-\alpha$ の動径上にある。

したがって、角 $\alpha$ の動径と直線 $y=x$ に関して対称な動径は、角 $\frac{\pi }{2}-\alpha$ の動径である。

条件を式にする

角 $5\theta$ の動径が、角 $\theta$ の動径と直線 $y=x$ に関して対称であるとは、角 $5\theta$ の動径と角 $\frac{\pi }{2}-\theta$ の動径が一致することである。2 つの角の動径が一致するのは、角の差が $2\pi$ の整数倍のときだから、整数 $n$ を用いて
$$5\theta =\frac{\pi }{2}-\theta +2n\pi$$
と表せる。これを整理すると
$$6\theta =\frac{\pi }{2}+2n\pi ,\theta =\frac{\pi }{12}+\frac{n\pi }{3}$$
となる。

範囲内の $\theta$ を求める

$0\leqq \theta <2\pi$ より
$$0\leqq \frac{\pi }{12}+\frac{n\pi }{3}<2\pi$$
である。各辺に $\frac{12}{\pi }$ を掛けると $0\leqq 1+4n<24$、すなわち $-\frac{1}{4}\leqq n<\frac{23}{4}$ となる。よって $n=0,1,2,3,4,5$ である。

それぞれ代入すると
$$\theta =\frac{\pi }{12},\frac{5}{12}\pi ,\frac{9}{12}\pi =\frac{3}{4}\pi ,\frac{13}{12}\pi ,\frac{17}{12}\pi ,\frac{21}{12}\pi =\frac{7}{4}\pi$$
が得られる。

確認

$\theta =\frac{3}{4}\pi$ のとき、$5\theta =\frac{15}{4}\pi$ であり、これは $\frac{15}{4}\pi -2\pi =\frac{7}{4}\pi$ と同じ動径である。一方 $\frac{\pi }{2}-\theta =-\frac{\pi }{4}$ も $-\frac{\pi }{4}+2\pi =\frac{7}{4}\pi$ と同じ動径であり、確かに一致する。

答え

$$\theta =\frac{\pi }{12},\frac{5}{12}\pi ,\frac{3}{4}\pi ,\frac{13}{12}\pi ,\frac{17}{12}\pi ,\frac{7}{4}\pi$$

直線 $y=x$ に関して、角 $\alpha$ の動径と対称な動径の角は $\frac{\pi }{2}-\alpha$ (mod $2\pi$) である。したがって条件は、整数 $k$ を用いて $5\theta =\frac{\pi }{2}-\theta +2k\pi$ と表される。
これより $6\theta =\frac{\pi }{2}+2k\pi$、すなわち $\theta =\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}$。
$0\leqq \theta <2\pi$ より $k=0,1,2,3,4,5$。
$\theta =\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12},\frac{3\pi }{4},\frac{13\pi }{12},\frac{17\pi }{12},\frac{7\pi }{4}$。
検算: $\theta =\frac{\pi }{12}$ のとき $5\theta =\frac{5\pi }{12}$ で、$\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{12}=\frac{5\pi }{12}$ となり一致する。$\theta =\frac{3\pi }{4}$ のとき $5\theta =\frac{15\pi }{4}\equiv -\frac{\pi }{4}$ で、$\frac{\pi }{2}-\frac{3\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}$ となり一致する。