三角関数の問題

手順1：$y$ 軸に関して対称な動径の角を書く

角 $\theta$ の動径を $y$ 軸に関して対称移動した動径の表す角は、一般角で
$$\pi -\theta +2n\pi (n\text{ は整数})$$
と表せる。

手順2：条件を式にする

角 $3\theta$ の動径がこの動径と一致すればよいので、
$$3\theta =\pi -\theta +2n\pi (n\text{ は整数})$$

手順3：$\theta$ について解く

$$4\theta =\pi +2n\pi$$
$$\theta =\frac{\pi }{4}+\frac{n\pi }{2}$$

手順4：範囲 $0\leqq \theta <2\pi$ に入るものを選ぶ

$n=0,1,2,3$ のとき $\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi$ であり、$n=4$ では $\theta =\frac{9}{4}\pi \geqq 2\pi$、$n=-1$ では $\theta =-\frac{\pi }{4}<0$ となって範囲外である。

（確認：$\theta =\frac{\pi }{4}$ のとき $3\theta =\frac{3}{4}\pi$ で、$\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3}{4}\pi$ と一致する。）

よって
$$\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi$$

角 $\alpha$ の動径を $y$ 軸に関して折り返すと、角 $\pi -\alpha$ の動径になる。よって、角 $3\theta$ の動径が角 $\theta$ の動径と $y$ 軸に関して対称である条件は、整数 $k$ を用いて
$3\theta =\pi -\theta +2k\pi$
と表せる。
これを整理すると $4\theta =\pi +2k\pi$、すなわち $\theta =\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$ となる。
$0\leqq \theta <2\pi$ の範囲では、$k=0,1,2,3$ より $\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$。
検算:
- $\theta =\pi /4$ のとき、$3\theta =3\pi /4$。$\pi /4$ の折り返しは $3\pi /4$ で一致する。
- $\theta =3\pi /4$ のとき、$3\theta =9\pi /4\equiv \pi /4$。$3\pi /4$ の折り返しは $\pi /4$ で一致する。
- $\theta =5\pi /4$ のとき、$3\theta =15\pi /4\equiv 7\pi /4$。$5\pi /4$ の折り返しは $-\pi /4\equiv 7\pi /4$ で一致する。
- $\theta =7\pi /4$ のとき、$3\theta =21\pi /4\equiv 5\pi /4$。$7\pi /4$ の折り返しは $-3\pi /4\equiv 5\pi /4$ で一致する。
いずれも条件を満たす。