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三角関数

扱うテーマ: 一般角と弧度法、三角関数のグラフと性質、加法定理・2 倍角・半角の公式、三角関数の合成、三角関数を含む方程式・不等式・最大最小

難易度の目安（高校数学）

難易度 1 教科書の例題レベル
難易度 2 教科書の章末問題レベル
難易度 3 共通テストレベル
難易度 4 国公立二次の標準レベル
難易度 5 最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル

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難易度 1（教科書の例題レベル）
$cos (- \frac{11}{4} π)$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$sin \frac{13}{4} π$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$cos \frac{17 π}{6}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
加法定理を用いて、 $cos \frac{7}{12} π$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
加法定理を用いて、 $cos \frac{7}{12} π$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
加法定理を用いて、 $cos \frac{7}{12} π$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$0 ≦ θ < 2 π$ のとき、方程式 $sin θ + 3 cos θ = 3$ を満たす $θ$ の値をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$θ$ は実数とする。 $sin θ - 3 cos θ$ を $r sin (θ + α)$ の形に表せ。ただし、 $r > 0$ 、 $- π < α ≦ π$ とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$0 ≦ θ < 2 π$ のとき、方程式 $sin θ + 3 cos θ = 2$ を満たす $θ$ の値をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上で、原点 $O$ を中心とし、 $x$ 軸の正の部分を始線とする。 $θ$ は $0 ≦ θ < 2 π$ を満たす実数とする。角 $3 θ$ の動径が、角 $θ$ の動径と $y$ 軸に関して対称であるような $θ$ をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$θ$ は $0 ≦ θ < 2 π$ を満たす実数とする。座標平面上で、原点 $O$ を中心とし、 $x$ 軸の正の部分を始線とする。角 $3 θ$ の動径が、角 $θ$ の動径と $y$ 軸に関して対称であるような $θ$ をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$θ$ は $0 ≦ θ < 2 π$ を満たす実数とする。座標平面上で、原点 $O$ を中心とし、 $x$ 軸の正の部分を始線とする。角 $3 θ$ の動径が、角 $θ$ の動径と $y$ 軸に関して対称であるような $θ$ をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $y = 4 sin (2 x - \frac{π}{3}) - 1$ のグラフは、関数 $y = 4 sin 2 x$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $- 1$ だけ平行移動したものである。 $0 < p < π$ を満たす実数 $p$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$y = sin x$ のグラフに対して、次の操作 $(1)$ 〜 $(3)$ をこの順に行う。
$(1)$ $y$ 軸をもとにして、 $x$ 軸方向に $3$ 倍に拡大する。
$(2)$ $x$ 軸をもとにして、 $y$ 軸方向に $2$ 倍に拡大する。
$(3)$ $x$ 軸方向に $\frac{π}{2}$ 、 $y$ 軸方向に $- 1$ だけ平行移動する。
得られたグラフを表す方程式を $y = f (x)$ とするとき、 $f (x)$ を $x$ の式で表せ。ただし、答えは $a sin (b x + c) + d$ （ $a, b, c, d$ は定数）の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $y = 2 sin (\frac{x}{3} - \frac{π}{6})$ のグラフは、関数 $y = 2 sin \frac{x}{3}$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動したものである。 $0 ≦ p < 6 π$ のとき、 $p$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$0 ≦ x < 2 π$ のとき、不等式 $2 cos x + 3 ≦ 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$0 ≦ x < 2 π$ のとき、不等式 $2 cos x + 1 < 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$0 ≦ x < 2 π$ のとき、不等式 $2 cos x + 3 ≦ 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は実数で、 $cos x = \frac{2}{3}$ を満たすとする。このとき、 $cos 3 x$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は実数で、 $cos x = \frac{2}{3}$ を満たすとする。このとき、 $cos 3 x$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$θ$ は実数で、 $cos θ = \frac{1}{4}$ を満たすとする。このとき、 $cos 3 θ$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$0 ≦ x < 2 π$ のとき、方程式 $cos 2 x - 3 sin x + 1 = 0$ を解け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$0 ≦ x < 2 π$ のとき、方程式 $cos 2 x + sin x = 0$ を解け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$0 ≦ x < 2 π$ のとき、方程式 $cos 2 x + sin x = 0$ を解け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は実数で、 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ とする。関数
$f (x) = sin^{2} x + 23 sin x cos x + 3 cos^{2} x$
の最小値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は実数とする。関数
$f (x) = sin^{2} x + 23 sin x cos x + 3 cos^{2} x$
の最大値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は実数で、 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ とする。関数
$f (x) = 3 sin^{2} x - 23 sin x cos x + cos^{2} x$
の最大値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$0 ≦ x < 2 π$ のとき、関数
$y = sin 2 x + 2 (sin x + cos x)$
の最大値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$0 ≦ x < 2 π$ のとき、関数 $y = sin x cos x + sin x + cos x$ の最大値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$0 ≦ x < 2 π$ のとき、関数
$y = sin x cos x + sin x + cos x$
の最大値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$k$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$(3 sin x + cos x)^{2} - 2 (3 sin x + cos x) = k$
が $0 ≦ x < 2 π$ の範囲に異なる解をちょうど $4$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$k$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$(sin x + 3 cos x)^{2} - 2 (sin x + 3 cos x) = k$
が $0 ≦ x < 2 π$ の範囲に異なる解をちょうど $4$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$k$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$(3 sin x + cos x)^{2} - 2 (3 sin x + cos x) = k$
が $0 ≦ x < 2 π$ の範囲に異なる実数解をちょうど $4$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$0 ≦ x < 2 π$ のとき、不等式
$cos 2 x ≦ 3 cos x + 1$
を解け。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$0 ≦ x < 2 π$ のとき、不等式
$3 sin x - cos x > 2$
を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$a, b, c, d$ は定数で、 $a > 0$ , $b > 0$ , $- π < c ≦ π$ とする。関数
$f (x) = a sin (b x + c) + d$
について、次のことがわかっている。
- $f (x)$ の最大値は $5$ 、最小値は $- 1$ である。
- $f (x)$ の正の周期のうち最小のものは $\frac{2}{3} π$ である。
- $f (0) = 5$ である。
このとき、 $f (\frac{π}{4})$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$0 < θ < π$ とし、 $cos θ = - \frac{7}{25}$ とする。このとき、 $sin (\frac{θ}{2} + \frac{π}{3})$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$θ$ は $0 ≦ θ < 2 π$ を満たす実数とする。座標平面上で、原点 $O$ を中心とし、 $x$ 軸の正の部分を始線とする。角 $4 θ$ の動径が、角 $θ$ の動径と直線 $y = x$ に関して対称になるような $θ$ の値をすべて求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
関数
$y = 2 sin (2 x + \frac{π}{3})$
のグラフが直線 $x = a$ に関して対称となるような正の実数 $a$ のうち、最小のものを求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$0 ≦ x ≦ \frac{2}{3} π$ のとき、関数
$y = 2 sin^{2} x + 2 cos x - 1$
の最小値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
関数
$f (x) = 3 sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{6})$
の正の周期のうち最小のものを $T$ とする。 $0 ≦ x ≦ T$ の範囲で、 $y = f (x)$ のグラフと $x$ 軸の共有点の $x$ 座標をすべて求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$α$ は $π < α < \frac{3}{2} π$ を満たす実数で、 $tan α = \frac{4}{3}$ とする。このとき、
$tan (\frac{α}{2} + \frac{π}{4})$
の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上で、原点 $O$ を中心とし、 $x$ 軸の正の部分を始線とする。 $0 ≦ θ < 2 π$ のとき、角 $5 θ$ の動径が角 $θ$ の動径と直線 $y = x$ に関して対称となるような $θ$ の値をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$0 ≦ x < 2 π$ のとき、不等式
$3 sin^{2} x + 23 sin x cos x + cos^{2} x ≧ 3$
を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$α$ , $β$ は $0 < α < \frac{π}{2}$ , $0 < β < \frac{π}{2}$ を満たす実数で、
$sin α = \frac{3}{5}, cos (α + β) = - \frac{5}{13}$
であるとする。このとき、 $tan \frac{β}{2}$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上で、原点 $O$ を中心とし、 $x$ 軸の正の部分を始線とする。 $0 ≦ θ < 2 π$ とする。角 $5 θ$ の動径と角 $θ$ の動径が、直線 $y = x$ に関して対称になるような $θ$ の値をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$θ$ は $0 ≦ θ < 2 π$ を満たす実数とする。不等式 $(2 sin θ + 1) (2 cos θ + 1) ≦ - 1$ を満たす $θ$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を正の実数の定数とする。関数 $f (x) = 2 sin x cos x - 23 cos^{2} x + 3$ について、 $0 ≦ x ≦ a$ における $f (x)$ の最大値が $2$ 、最小値が $- 3$ となるような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。 $0 ≦ x ≦ \frac{7}{6} π$ において、関数
$f (x) = cos 2 x + 4 a sin x$
の最大値が $3$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
周の長さが $12$ である扇形がある。この扇形の半径を $r$ 、中心角を弧度法で $θ$ $(0 < θ < 2 π)$ とする。この扇形の面積が $8$ 以上となるような $θ$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
外接円の半径が $1$ で、 $∠ A = \frac{π}{3}$ である鋭角三角形 $ABC$ を考える。このとき、 $AB + 2 AC$ のとりうる値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$x$ は $0 < x < \frac{π}{2}$ を満たす実数で、 $tan 2 x$ と $tan 3 x$ がともに定義されるものとする。 $x$ が
$tan x + tan 2 x + tan 3 x = 0$
を満たすとき、 $cos 2 x$ のとりうる値をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上で、原点 $O$ を中心とし、 $x$ 軸の正の部分を始線とする。 $n$ を $1 ≦ n ≦ 30$ を満たす整数とし、弧度法で表した角 $n$ （すなわち $n$ ラジアン）の動径を考える。この動径が第 $4$ 象限にあるような $n$ の個数を求めよ。
ただし、円周率 $π$ について $3.141 < π < 3.142$ が成り立つことを用いてよい。また、動径が座標軸上にあるときは、どの象限にもないものとする。
難易度 3（共通テストレベル）
正の整数 $n$ に対して
$P_{n} = k = 1 \prod n (3 - 4 sin^{2} \frac{k π}{2 n + 1})$
とする。 $1 ≦ n ≦ 100$ を満たす整数 $n$ のうち、 $P_{n} = - 1$ となるものの個数を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$θ$ は $0 ≦ θ < 2 π$ を満たす実数とする。座標平面において、原点を中心とし $x$ 軸の正の部分を始線とする。次の $2$ つの条件をともに満たす $θ$ をすべて求めよ。
$(1)$ 角 $5 θ$ の動径は、角 $2 θ$ の動径と $y$ 軸に関して対称である。
$(2)$ 角 $3 θ$ の動径は第4象限にある（座標軸上にはない）。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$k$ を実数の定数とする。 $x$ の方程式
$3 sin 2 x - cos 2 x + 23 sin x + 2 cos x = k$
が $0 ≦ x < 2 π$ の範囲にちょうど $4$ 個の解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$sin 2 x - 2 (sin x + cos x) = a (0 ≦ x < 2 π)$
が異なる実数解をちょうど $4$ 個もつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
実数 $θ$ が
$sin θ + sin 2 θ + sin 3 θ = cos θ + cos 2 θ + cos 3 θ$
を満たすとき、 $tan θ$ のとりうる値をすべて求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$ω$ を正の実数とし、関数 $f (x) = 2 sin (ω x + \frac{π}{6}) - 1$ を考える。 $0 ≦ x ≦ π$ の範囲で、次の 2 つの条件がともに成り立つとする。
$(1)$ 方程式 $f (x) = 0$ の解はちょうど $4$ 個である。
$(2)$ $f (x)$ が値 $- 3$ をとる $x$ はちょうど $1$ 個である。
このような $ω$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$sin 2 x - 2 (sin x + cos x) = a (0 ≦ x ≦ π)$
が相異なる実数解をちょうど $3$ 個もつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $θ$ についての方程式
$cos 2 θ - 3 sin 2 θ + 2 sin θ - 23 cos θ = a$
が $0 ≦ θ < 2 π$ の範囲にちょうど $4$ 個の解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
三角形 $ABC$ の内角の大きさを $A, B, C$ とする。 $A, B, C$ はいずれも $\frac{π}{2}$ ではなく、
$tan A : tan B : tan C = 1 : 3 : 4$
が成り立っている。このとき、辺の長さの比 $\frac{AB}{BC}$ の値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$x$ は $0 ≦ x < 2 π$ かつ $x \neq = π$ を満たす実数とする。不等式
$2 sin x - 2 cos x - 1 ≧ tan \frac{x}{2}$
を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$k$ を実数の定数とする。 $θ$ についての方程式
$2 cos 3 θ + 3 cos 2 θ - 6 cos θ = k$
が $0 ≦ θ ≦ π$ の範囲に異なる実数解をちょうど $2$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$0 < x < π$ のとき、関数
$f (x) = \frac{2 - cos x}{sin x}$
の最小値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ における関数
$f (x) = a sin x + cos x$
の最大値が最小値の $2$ 倍となるような $a$ の値をすべて求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$θ$ は $0 ≦ θ < 2 π$ を満たす実数とする。座標平面上で、原点 $O$ を中心とし、 $x$ 軸の正の部分を始線とする。角 $θ$ 、角 $3 θ$ 、角 $9 θ$ の $3$ つの動径が、いずれも $x$ 軸より上側の部分（原点を除き、 $y > 0$ の領域）にあるような $θ$ の値の範囲を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$θ$ は $0 ≦ θ < 2 π$ を満たす実数とする。座標平面上で、原点 $O$ を中心とし $x$ 軸の正の部分を始線として、角 $k θ$ の動径と単位円 $x^{2} + y^{2} = 1$ との交点を $P_{k}$ とする（ $k = 1, 2, \dots, 12$ ）。12 個の点 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{12}$ からなる集合 $S$ （一致する点は 1 つの点とみなす）が $y$ 軸に関して対称となる、すなわち $S$ のどの点についても、その点の $y$ 軸に関する対称点がまた $S$ に属するような $θ$ の個数を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$a$ , $b$ を実数とし、 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{3}$ における関数 $∣ cos 3 x + a cos x + b ∣$ の最大値を $M (a, b)$ とする。 $a$ , $b$ が実数全体を動くとき、 $M (a, b)$ の最小値を求めよ。