三角関数の問題

手順1：合成の $r$ を求める。

$a\sin \theta +b\cos \theta$ の形で $a=1$, $b=\sqrt{3}$ である。座標平面上に点 $\mathrm{P}(1,\sqrt{3})$ をとると、
$$r=\mathrm{OP}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}=2$$

手順2：合成の $\alpha$ を求める。

$\alpha$ は $x$ 軸の正の向きから線分 $\mathrm{OP}$ までの角で、
$$\cos \alpha =\frac{1}{2},\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$$
を満たすので $\alpha =\frac{\pi }{3}$ である。

手順3：加法定理で確かめる。
$$2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=2\left(\sin \theta \cos \frac{\pi }{3}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}\sin \theta +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta \right)=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$$
よって
$$\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$$

手順4：方程式を解く。

方程式は $2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$、すなわち
$$\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
となる。$0\leqq \theta <2\pi$ より
$$\frac{\pi }{3}\leqq \theta +\frac{\pi }{3}<\frac{7}{3}\pi$$
この範囲で $\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $t$ は、単位円より $t=\frac{\pi }{3},\frac{2}{3}\pi$ である（次の候補 $\frac{7}{3}\pi$ は範囲に含まれない）。

よって $\theta +\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3},\frac{2}{3}\pi$ より
$$\theta =0,\frac{\pi }{3}$$

（確認：$\theta =0$ のとき $0+\sqrt{3}\cdot 1=\sqrt{3}$、$\theta =\frac{\pi }{3}$ のとき $\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=\sqrt{3}$ で、どちらも成り立つ。）

三角関数の合成により $\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$。したがって $2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$、つまり $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
$0\leqq \theta <2\pi$ より $\frac{\pi }{3}\leqq \theta +\frac{\pi }{3}<\frac{7\pi }{3}$。この範囲で $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ は $x=\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$ のうち、$\frac{7\pi }{3}$ は範囲外（未満なので含まない）。よって $x=\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}$。
$\theta =0,\frac{\pi }{3}$。
検算: $\theta =0$ のとき $0+\sqrt{3}\cdot 1=\sqrt{3}$ で成立。$\theta =\frac{\pi }{3}$ のとき $\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=\sqrt{3}$ で成立。