三角関数の問題

左辺を合成する。

$\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}=2$ であるから、
$$\sqrt{3}\sin x-\cos x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x\right)$$
となる。$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ であるから、加法定理により
$$\sqrt{3}\sin x-\cos x=2\left(\sin x\cos \frac{\pi }{6}-\cos x\sin \frac{\pi }{6}\right)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$$
である。

不等式を書き直す。

不等式は $2\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)>\sqrt{2}$、すなわち
$$\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)>\frac{\sqrt{2}}{2}$$
となる。

$\theta$ の範囲で解く。

$\theta =x-\frac{\pi }{6}$ とおく。$0\leqq x<2\pi$ より
$$-\frac{\pi }{6}\leqq \theta <\frac{11}{6}\pi$$
である。この範囲で $\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは $\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3}{4}\pi$ である。単位円で考えると、$\sin \theta >\frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは
$$\frac{\pi }{4}<\theta <\frac{3}{4}\pi$$
のときである。

$x$ に戻す。

各辺に $\frac{\pi }{6}$ を加えると、
$$\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}<x<\frac{3}{4}\pi +\frac{\pi }{6}$$
となる。$\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi +2\pi }{12}=\frac{5}{12}\pi$、$\frac{3}{4}\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{9\pi +2\pi }{12}=\frac{11}{12}\pi$ であるから、
$$\frac{5}{12}\pi <x<\frac{11}{12}\pi$$
である。

(確認: $x=\frac{2}{3}\pi$ のとき、左辺は $\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=2>\sqrt{2}$ となり、確かに不等式を満たす。)

$\sqrt{3}\sin x-\cos x=2\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ と合成できる。不等式は $\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)>\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる。
$0\leqq x<2\pi$ より $\theta =x-\frac{\pi }{6}$ の範囲は $-\frac{\pi }{6}\leqq \theta <\frac{11\pi }{6}$ である。この範囲で $\sin \theta >\frac{\sqrt{2}}{2}$ を解くと $\frac{\pi }{4}<\theta <\frac{3\pi }{4}$ となる（$\theta$ が $-\frac{\pi }{6}$ 付近では $\sin \theta <0$ であり、$\frac{9\pi }{4}$ は範囲外なので他の解はない）。
よって $x=\theta +\frac{\pi }{6}$ より $\frac{5\pi }{12}<x<\frac{11\pi }{12}$ である。
検算：$x=\frac{\pi }{2}$ のとき $\sqrt{3}>\sqrt{2}$ で成立。$x=\frac{5\pi }{12}$ のとき $2\sin \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}$ で等号となり、端点は含まれない。