関数 $y = a x^{2}$ の式と変域

$y = a x^{2}$ について、通る 1 点から $a$ を求め、グラフ上の点の座標を求め、 $x$ の変域（0 をふくむ場合を含む）から $y$ の変域を求められる

前提

比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）

この技能までの道筋（15 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）

説明

$y$ が $x$ の 2 乗に比例する関数 $y = a x^{2}$ （ $a \neq = 0$ ）について、グラフが通る 1 点から比例定数 $a$ を求め、グラフ上の点の座標を求められるようになります。さらに、 $x$ がとる値の範囲（ $x$ の変域）から、 $y$ がとる値の範囲（ $y$ の変域）を求められるようになります。特に $x$ の変域が 0 をまたぐときに注意が必要で、入試でもよく問われます。

なぜそうしてよいのか

$y = a x^{2}$ は「 $y$ が $x^{2}$ に比例する」関数です。比例 $y = a x$ と同じく、グラフが点 $(p, q)$ を通るなら $x = p, y = q$ を代入した $q = a p^{2}$ が成り立つので、 $a = \frac{q}{p ^{2}}$ と求められます（ $p \neq = 0$ ）。式がわかれば、 $x$ 座標から $y$ 座標を計算できます。 $y$ 座標から $x$ 座標を求めるときは $x^{2} = \frac{y}{a}$ となるので、平方根の考えで正と負の 2 つの $x$ が出てきます。

変域で大事なのは、 $x^{2}$ の性質です。 $x^{2}$ はどんな $x$ でも 0 以上で、 $x = 0$ のときだけ 0 になります。また、 $x$ が 0 から離れる（ $x$ の絶対値、つまり 0 からの距離が大きくなる）ほど $x^{2}$ は大きくなり、 $x$ と $- x$ では $x^{2}$ は同じです。だから $a > 0$ なら $y = a x^{2}$ は $x = 0$ で最も小さい値 0 をとり、0 から遠いほど大きくなります（ $a < 0$ なら逆に、 $x = 0$ で最も大きい値 0 をとり、0 から遠いほど小さくなります）。

そのため、 $x$ の変域が $- 1 ≦ x ≦ 2$ のように 0 をふくむときは、両端の $y$ の値だけでなく、 $x = 0$ のときの $y = 0$ も必ず調べます。両端だけを見て「 $y$ は $3$ から $12$ 」などとすると、0 を見落とします。

手順

$y = a x^{2}$ に通る点の座標を代入し、 $a$ を求めて式を決める
グラフ上の点の座標を求めるときは、わかっている方の座標を式に代入する（ $y$ から $x$ を求めるときは平方根の考えで $\pm$ の 2 つを考える）
$y$ の変域を求めるときは、 $x$ の変域の両端の $x$ を代入して $y$ の値を計算する
$x$ の変域が 0 をふくむ（左端が負、右端が正）なら、 $x = 0$ のとき $y = 0$ も候補に入れる
候補の中で最も小さい値と最も大きい値を、 $y$ の変域の両端にする（ $x$ の変域の端に等号がなければ、対応する $y$ の端にも等号をつけない）

例題

関数 $y = a x^{2}$ のグラフが点 $(2, 12)$ を通る。この関数で、 $x$ の変域が $- 1 ≦ x ≦ 2$ のときの $y$ の変域を求めよ。

例題の解答

手順 1: $x = 2, y = 12$ を代入して $12 = a \times 2^{2}$ 、 $4 a = 12$ 、 $a = 3$ 。式は $y = 3 x^{2}$ 。

手順 2: 今回はグラフ上の点を求める必要はない。

手順 3: 両端を代入すると、 $x = - 1$ のとき $y = 3 \times (- 1)^{2} = 3$ 、 $x = 2$ のとき $y = 3 \times 2^{2} = 12$ 。

手順 4: $x$ の変域 $- 1 ≦ x ≦ 2$ は 0 をふくむので、 $x = 0$ のとき $y = 0$ も候補。

手順 5: 候補 $3, 12, 0$ のうち最小は $0$ 、最大は $12$ 。よって $0 ≦ y ≦ 12$ 。

答え: $0 ≦ y ≦ 12$

よくある誤り

$x$ の変域が 0 をふくむのに両端だけで考える誤り。上の例で $3 ≦ y ≦ 12$ とするのは誤り。 $x = 0$ のとき $y = 0$ になるので、正しくは $0 ≦ y ≦ 12$
負の数の 2 乗の符号を間違える誤り。 $y = 3 x^{2}$ に $x = - 1$ を代入して $y = 3 \times (- 1) \times 2 = - 6$ や $y = - 3$ とするのは誤り。正しくは $3 \times (- 1)^{2} = 3 \times 1 = 3$
比例定数を $\frac{y}{x}$ で求めてしまう誤り。点 $(2, 12)$ を通るとき $a = \frac{12}{2} = 6$ とするのは誤り。 $y = a x^{2}$ なので、正しくは $a = \frac{12}{2 ^{2}} = 3$
$y$ 座標から $x$ 座標を求めるとき、負の方を落とす誤り。 $y = 3 x^{2}$ 上で $y = 27$ の点を $x = 3$ だけとするのは誤り。 $x^{2} = 9$ より、正しくは $x = 3$ と $x = - 3$ の 2 点

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $y = a x^{2}$ のグラフが点 $(- 2, 12)$ を通るとき、定数 $a$ の値を求めなさい。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
変化の割合（中学数学関数）
放物線と直線の交点（中学数学関数）

関数 y=ax2 の式と変域

前提

説明