放物線と直線の交点

$y = a x^{2}$ と直線の式を連立させて交点の座標を求めたり、放物線上の 2 点を通る直線の式を求めたりできる

前提

2 直線の交点（中学数学関数）
因数分解による 2 次方程式の解き方（中学数学方程式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）

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算数中学高校大学大学院

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2 直線の交点（中学数学関数）
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関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）

説明

放物線 $y = a x^{2}$ と直線 $y = m x + n$ が交わる点（交点）の座標を、2 つの式を連立させて求められるようになります。また逆に、放物線上の 2 点の $x$ 座標がわかっているとき、その 2 点を通る直線の式を求められるようになります。放物線と直線を組み合わせた入試の関数問題の、出発点になる技能です。

なぜそうしてよいのか

2 直線の交点と同じ考え方です。交点は放物線の上にも直線の上にもある点なので、その座標 $(x, y)$ は $y = a x^{2}$ と $y = m x + n$ の両方を成り立たせます。どちらも $y = \dots$ の形なので、右辺どうしを等しいとおくと $a x^{2} = m x + n$ という $x$ の 2 次方程式になります。これを整理して因数分解すれば、交点の $x$ 座標が求まります。2 次方程式なので解が 2 つ出ることが多く、それは「直線が放物線と 2 か所で交わる」ことに対応しています。 $y$ 座標は、求めた $x$ を式に代入して求めます。

反対に、放物線上の 2 点を通る直線を求めるときは、まず $x$ 座標を $y = a x^{2}$ に代入して 2 点の $y$ 座標を求めます。座標がわかれば、あとは 2 点を通る 1 次関数の式の求め方そのものです。

手順

放物線の式と直線の式を連立させ、右辺どうしを等しいとおいて $a x^{2} = m x + n$ を作る
分数の係数があれば両辺を整数倍し、移項して（2 次の項） $+$ （1 次の項） $+$ （数） $= 0$ の形に整理する
因数分解して 2 次方程式を解き、交点の $x$ 座標を求める
求めた $x$ を放物線か直線の式に代入して $y$ 座標を求め、交点の座標とする（もう一方の式でも成り立つか確かめる）
放物線上の 2 点を通る直線を求めるときは、 $x$ 座標を $y = a x^{2}$ に代入して $y$ 座標を求め、2 点を通る直線の式を求める

例題

放物線 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ と直線 $y = x + 4$ の 2 つの交点のうち、 $x$ 座標が大きい方の交点の座標を求めよ。

例題の解答

手順 1: 右辺どうしを等しいとおいて $\frac{1}{2} x^{2} = x + 4$ 。

手順 2: 両辺を 2 倍して $x^{2} = 2 x + 8$ 。移項して $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ 。

手順 3: たして $- 2$ 、かけて $- 8$ になる 2 数は $- 4$ と $2$ なので $(x - 4) (x + 2) = 0$ 、 $x = 4, - 2$ 。

手順 4: $x$ 座標が大きい方は $x = 4$ 。直線の式に代入して $y = 4 + 4 = 8$ 。放物線でも $\frac{1}{2} \times 4^{2} = 8$ で成り立つ。（もう一方の交点は $(- 2, 2)$ 。）

よって $(4, 8)$ 。

答え: $(4, 8)$

よくある誤り

分数の係数を整数倍するとき、一方の辺だけをかける誤り。 $\frac{1}{2} x^{2} = x + 4$ を $x^{2} = x + 4$ とするのは誤り。両辺を 2 倍するので、正しくは $x^{2} = 2 x + 8$
$x$ 座標だけを答えて交点としてしまう誤り。「交点は $x = 4$ 」とするのは誤り。交点は座標なので、 $y$ も求めて $(4, 8)$ と答える
$y$ 座標を求めるとき、放物線の式で 2 乗を忘れたり、負の数の 2 乗の符号を間違えたりする誤り。 $x = - 2$ で $y = \frac{1}{2} \times (- 2) = - 1$ や $y = \frac{1}{2} \times (- 2^{2}) = - 2$ とするのは誤り。正しくは $y = \frac{1}{2} \times (- 2)^{2} = 2$
移項しないで因数分解しようとする誤り。 $x^{2} = 2 x + 8$ から $x (x - 2) = 8$ として「 $x = 8$ または $x - 2 = 8$ 」とするのは誤り。正しくは右辺を 0 にした $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ を因数分解する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
放物線 $y = x^{2}$ と直線 $y = x + 6$ は 2 点で交わります。この 2 つの交点のうち、 $x$ 座標が正である点の座標を求めなさい。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

放物線と直線でつくる三角形の面積（中学数学関数）