関数の問題

直線 AB を $a$ で表す

$\mathrm{A}(-4,16a)$、$\mathrm{B}(2,4a)$ である。直線 $\mathrm{AB}$ の傾きは
$$\frac{4a-16a}{2-(-4)}=\frac{-12a}{6}=-2a$$
$y=-2ax+n$ に $\mathrm{B}(2,4a)$ を代入すると $4a=-4a+n$ より $n=8a$。よって直線 $\mathrm{AB}$ は $y=-2ax+8a$ で、$y$ 軸との交点は $\mathrm{D}(0,8a)$。

$a$ の値

$△\mathrm{OAB}=△\mathrm{OAD}+△\mathrm{OBD}$ で、底辺を $\mathrm{OD}=8a$ とすると高さはそれぞれ $4$、$2$ だから
$$△\mathrm{OAB}=\frac{1}{2}\times 8a\times 4+\frac{1}{2}\times 8a\times 2=16a+8a=24a$$
$24a=12$ より $a=\frac{1}{2}$。このとき $\mathrm{A}(-4,8)$、$\mathrm{B}(2,2)$、$\mathrm{D}(0,4)$。

点 C の座標

点 $\mathrm{C}$ を $(0,c)$ とすると、$△\mathrm{ABC}=△\mathrm{ACD}+△\mathrm{BCD}$ で、底辺を $\mathrm{CD}$ とすると高さはそれぞれ $4$、$2$ だから
$$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\times \mathrm{CD}\times 4+\frac{1}{2}\times \mathrm{CD}\times 2=3\mathrm{CD}$$
これが $2\times 12=24$ になるので $\mathrm{CD}=8$。

$\mathrm{D}$ の $y$ 座標は $4$ だから、$c=4+8=12$ または $c=4-8=-4$。$c>0$ より $c=12$。

よって、点 $\mathrm{C}$ の $y$ 座標は $12$ である。

$\mathrm{A}(-4,16a)$, $\mathrm{B}(2,4a)$。直線 $\mathrm{AB}$ の傾きは $\frac{4a-16a}{2-(-4)}=-2a$。$y=-2ax+b$ に $\mathrm{B}$ を代入して $4a=-4a+b$ より $b=8a$。直線 $\mathrm{AB}$ と $y$ 軸の交点を $\mathrm{D}(0,8a)$ とする。
$△\mathrm{OAB}=\frac{1}{2}\times 8a\times (4+2)=24a=12$ より $a=\frac{1}{2}$。よって $\mathrm{D}(0,4)$。
$\mathrm{C}(0,c)$（$c>0$）とすると $△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\times \mathrm{CD}\times 6=3|c-4|$。
$3|c-4|=24$ より $|c-4|=8$、$c=12$ または $c=-4$。$c>0$ より $c=12$。
検算: $\mathrm{C}(0,12)$ のとき $\mathrm{CD}=8$、$△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6=24=2\times 12$ ✓。