放物線と直線でつくる三角形の面積

放物線と直線の 2 つの交点と原点でできる $△ OAB$ の面積を、直線と $y$ 軸の交点で分けて求められる

前提

放物線と直線の交点（中学数学関数）
座標平面上の三角形の面積（中学数学関数）

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算数中学高校大学大学院

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放物線と直線の交点（中学数学関数）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
座標平面上の三角形の面積（中学数学関数）

説明

放物線 $y = a x^{2}$ と直線が 2 点 A、B で交わるとき、原点 O と A、B を頂点とする三角形 OAB の面積を求められるようになります。直線と $y$ 軸の交点を使って三角形を左右 2 つに分けるのがポイントです。放物線と直線を組み合わせた入試問題で、くり返し出てくる形です。

なぜそうしてよいのか

三角形 OAB の辺 OA、OB、AB は、ふつうどれも座標軸の上にないので、そのままでは底辺と高さが読み取れません。そこで、直線 AB と $y$ 軸の交点を C とします。A が $y$ 軸の左側、B が右側にあれば、C は辺 AB 上にあり、三角形 OAB は $y$ 軸で三角形 OAC と三角形 OBC に分かれます。

2 つの三角形は、 $y$ 軸上の辺 OC を共通の底辺にもちます。C は直線 $y = m x + n$ の $x = 0$ の点なので $C (0, n)$ 、底辺 OC の長さは切片 $n$ の大きさです。高さは、それぞれ A、B から $y$ 軸までの距離で、これは A、B の $x$ 座標の大きさです。

よって $△ O A B = \frac{1}{2} \times O C \times (A の高さ) + \frac{1}{2} \times O C \times (B の高さ) = \frac{1}{2} \times O C \times (A と B の x 座標の差)$ です。A、B の $x$ 座標は、放物線と直線の式を連立させた 2 次方程式の解として求められます。

手順

放物線と直線の式を連立させ、2 次方程式を解いて交点 A、B の $x$ 座標を求める（必要なら $y$ 座標も求める）
直線と $y$ 軸の交点 C の座標 $(0, n)$ を、直線の切片から求める
三角形 OAB を $y$ 軸で三角形 OAC と三角形 OBC に分け、共通の底辺を $O C$ 、高さを A、B から $y$ 軸までの距離（ $x$ 座標の大きさ）とする
それぞれの面積底辺×高さ÷2 を求めてたす（まとめて $\frac{1}{2} \times O C \times (A と B の x 座標の差)$ でもよい）

例題

放物線 $y = 2 x^{2}$ と直線 $y = 2 x + 4$ の 2 つの交点を A、B とし（A の $x$ 座標は B の $x$ 座標より小さい）、原点を O とする。座標の 1 目もりを 1 cm とするとき、三角形 OAB の面積は何 cm² か求めよ。

例題の解答

手順 1: $2 x^{2} = 2 x + 4$ より、両辺を 2 でわって $x^{2} = x + 2$ 、 $x^{2} - x - 2 = 0$ 、 $(x - 2) (x + 1) = 0$ 、 $x = - 1, 2$ 。A の $x$ 座標は $- 1$ （A $(- 1, 2)$ ）、B の $x$ 座標は $2$ （B $(2, 8)$ ）。

手順 2: 直線 $y = 2 x + 4$ の切片は $4$ なので、 $y$ 軸との交点は C $(0, 4)$ 。 $O C = 4$ 。

手順 3: A は $y$ 軸の左、B は右にあるので、三角形 OAB を三角形 OAC と三角形 OBC に分ける。A の高さは $1$ 、B の高さは $2$ 。

手順 4: $△ O A C = 4 \times 1 \div 2 = 2$ 、 $△ O B C = 4 \times 2 \div 2 = 4$ 。よって $△ O A B = 2 + 4 = 6$ （cm²）。

答え: $6$

よくある誤り

高さに負の $x$ 座標をそのまま使う誤り。A $(- 1, 2)$ の高さを $- 1$ として $△ O A C = 4 \times (- 1) \div 2 = - 2$ とするのは誤り。距離は正なので、正しくは $1$
高さとして交点の $y$ 座標を使う誤り。 $y$ 軸上の OC を底辺にしたのに、B の高さを $8$ とするのは誤り。 $y$ 軸までの距離は $x$ 座標で決まるので、正しくは $2$
底辺を $y$ 軸上の点ではなく交点の $y$ 座標で考える誤り。OC の長さを B の $y$ 座標 $8$ とするのは誤り。C は直線と $y$ 軸の交点なので、正しくは切片の $4$
$x$ 座標の差を計算するとき符号を間違える誤り。A と B の $x$ 座標の差を $2 - 1 = 1$ とするのは誤り。A の $x$ 座標は $- 1$ なので、正しくは $2 - (- 1) = 3$ 。 $\frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ で上の答えと一致する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
放物線 $y = x^{2}$ 上に 2 点 $A$ 、 $B$ があり、 $A$ の $x$ 座標は $- 1$ 、 $B$ の $x$ 座標は $3$ です。原点を $O$ とし、座標の 1 目もりを $1 cm$ とするとき、 $△ O A B$ の面積は何 $cm^{2}$ ですか。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

面積の条件を満たす点（等積変形）（中学数学関数）