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技能一覧 › 中学数学 関数

2 直線の交点

2 直線の式を連立させて交点の座標を求め、交点や 軸との交点を使って別の直線の式を求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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一覧で見る（前提が先）
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説明

2 つの直線の式が 、 のようにわかっているとき、2 直線が交わる点（交点）の座標を、連立方程式を解いて求められるようになります。さらに、求めた交点や、直線が 軸と交わる点を使って、それらを通る別の直線の式を求められるようになります。グラフと図形を組み合わせた入試問題の土台になる技能です。

なぜそうしてよいのか

直線 の上にある点とは、その座標 を式に代入すると等式が成り立つ点のことでした。2 直線の交点は、両方の直線の上にある点です。だから交点の座標 は、2 つの直線の式を両方とも成り立たせます。つまり、2 つの式を連立方程式として解いた解が、そのまま交点の 座標と 座標になります。

直線の式はどちらも「」の形なので、代入法で右辺どうしを等しいとおくと（ など）、 だけの 1 次方程式になってすぐ解けます。求めた をどちらかの式に代入すれば が出ます。

また、直線 が 軸と交わる点は、 軸上なので の点、つまり です。交点や 軸との交点の座標がわかれば、それらは「通る点」として使えるので、1 次関数の式の求め方で別の直線の式も求められます。

手順

  1. 2 直線の式を連立方程式として並べる

  2. 両方とも の形なら、右辺どうしを等しいとおいて の方程式を作り、 を求める

  3. 求めた をどちらかの直線の式に代入して を求め、交点の座標 とする（もう一方の式でも成り立つか確かめる）

  4. 軸との交点が必要なら、 を代入して を求める

  5. 求めた点を「通る点」として使い、傾き と切片から、別の直線の式を求める

例題

2 直線 と の交点を A とする。点 A と点 を通る直線の式を の形で表すとき、右辺の式 を求めよ。

例題の解答

手順 1: …①、 …② を連立させる。

手順 2: 右辺どうしを等しいとおいて 、、。

手順 3: ①に代入して （②でも で成り立つ）。よって A。

手順 4: 点 は 軸上の点なので、求める直線の切片は 。

手順 5: 傾きは、 から A へ が 増えて が 変わるので 。よって 。確かめ: のとき で A を通る。

よって 。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること