関数

$y$ は $x$ に反比例し、そのグラフは点 $(3,-4)$ を通ります。このグラフ上にあって $x$ 座標が $-2$ である点の $y$ 座標を求めなさい。

グラフの傾きが $3$ で、点 $(2,1)$ を通る 1 次関数の式を求め、$y$ を $x$ の式で表しなさい。

関数 $y=a{x}^2$ のグラフが点 $(-2,12)$ を通るとき、定数 $a$ の値を求めなさい。

1 次関数 $y=-2x+3$ で、$x$ の変域が $-1\leqq x\leqq 4$ のとき、$y$ の変域は $p\leqq y\leqq q$ と表せます。$p,q$ の値を求め、$(p,q)$ の組で答えなさい。

2 直線 $y=2x-1$ と $y=-x+5$ の交点の座標を求めなさい。

座標平面上に、原点 $O(0,0)$、点 $A(6,0)$、点 $B(2,5)$ があります。座標の 1 目もりを $1\text{cm}$ とするとき、$△OAB$ の面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。

関数 $y=2x^2$ について、$x$ の値が $1$ から $3$ まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

$AB=6\text{cm}$、$BC=8\text{cm}$ の長方形 $ABCD$ があります。点 $P$ は $B$ を出発し、辺 $BC$ 上を $C$ に向かって毎秒 $1\text{cm}$ の速さで動きます。$P$ が $B$ を出発してから $x$ 秒後（$0<x\leqq 8$）の $△ABP$ の面積を $y{\text{cm}}^2$ とします。$y=15$ となるときの $x$ の値を求めなさい。

座標平面上に 3 点 $A(0,6)$、$B(-2,0)$、$C(4,0)$ があります。点 $A$ を通り、$△ABC$ の面積を 2 等分する直線の式を求め、$y$ を $x$ の式で表しなさい。

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x+6$ は 2 点で交わります。この 2 つの交点のうち、$x$ 座標が正である点の座標を求めなさい。

放物線 $y=x^2$ 上に 2 点 $A$、$B$ があり、$A$ の $x$ 座標は $-1$、$B$ の $x$ 座標は $3$ です。原点を $O$ とし、座標の 1 目もりを $1\text{cm}$ とするとき、$△OAB$ の面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。

座標平面上に原点 $O$ と 2 点 $A(-2,2)$、$B(4,8)$ があります。$y$ 軸上に、$y$ 座標が $4$ より大きい点 $P$ をとり、$△PAB$ の面積が $△OAB$ の面積と等しくなるようにします。点 $P$ の座標を求めなさい。

関数 $y=a{x}^2$ について、$x$ の値が $1$ から $5$ まで増加するときの変化の割合は $-12$ である。$a$ の値を求めよ。ただし、$a$ は $0$ でない定数とする。

長方形 $\mathrm{ABCD}$ があり、$\mathrm{AB}=6\text{ cm}$、$\mathrm{BC}=10\text{ cm}$ である。点 $\mathrm{P}$ は頂点 $\mathrm{A}$ を出発し、長方形の辺上を $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}$ の順に毎秒 $2\text{ cm}$ の速さで動き、頂点 $\mathrm{D}$ で止まる。点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ を出発してから $x$ 秒後の $△\mathrm{APD}$ の面積を $y{\text{ cm}}^2$ とする。ただし、$0<x<11$ とする。

$y=18$ となる $x$ の値を、小さい順に求めよ。

直線 $\ell$ は、2 直線 $y=x+1$ と $y=-2x+10$ の交点を通り、さらに直線 $y=2x-5$ と $y$ 軸上で交わっている。直線 $\ell$ の式を求めよ。

関数 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ のグラフと直線 $y=-x+4$ が、2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ で交わっている。ただし、点 $\mathrm{A}$ の $x$ 座標は負、点 $\mathrm{B}$ の $x$ 座標は正である。原点を $\mathrm{O}$ とするとき、$△\mathrm{OAB}$ の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めよ。ただし、座標の 1 目盛りを 1 cm とする。

関数 $y=a{x}^2$ について、$x$ の値が $2$ から $6$ まで増加するときの変化の割合は $4$ である。この関数で、$x$ の変域を $-3\leqq x\leqq 1$ とするとき、$y$ の変域は $p\leqq y\leqq q$ となる。$p$, $q$ の値をこの順に求めよ。

関数 $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ のグラフと直線 $y=x-4$ が、2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ で交わっている。ただし、点 $\mathrm{A}$ の $x$ 座標は点 $\mathrm{B}$ の $x$ 座標より小さいものとする。原点を $\mathrm{O}$ とするとき、$△\mathrm{OAB}$ の面積を求めよ。ただし、座標の 1 目もりの長さは $1$ とする。

$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$、$\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ }$ の台形 $\mathrm{ABCD}$ があり、$\mathrm{AB}=6\text{cm}$、$\mathrm{AD}=4\text{cm}$、$\mathrm{BC}=10\text{cm}$ である。点 $\mathrm{P}$ は頂点 $\mathrm{B}$ を出発し、辺 $\mathrm{BC}$ 上を毎秒 $2\text{cm}$ の速さで頂点 $\mathrm{C}$ まで動く。

点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{B}$ を出発してから $x$ 秒後の四角形 $\mathrm{ABPD}$ の面積を $y{\text{cm}}^2$ とする。ただし、$x=0$ のときは $△\mathrm{ABD}$ の面積を $y$ とする。

$y$ が台形 $\mathrm{ABCD}$ の面積のちょうど半分になるのは、点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{B}$ を出発してから何秒後か求めなさい。

関数 $y=-x^2$ のグラフと直線 $y=x-6$ が 2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ で交わっている。ただし、点 $\mathrm{A}$ の $x$ 座標は点 $\mathrm{B}$ の $x$ 座標より小さい。原点を $\mathrm{O}$ とし、座標の 1 目もりを $1\text{cm}$ とする。

$△\mathrm{OAB}$ の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めなさい。

歯数が $36$ の歯車 $\mathrm{A}$ に、歯数が $x$ の歯車 $\mathrm{B}$ がかみ合っている。歯車 $\mathrm{A}$ が毎分 $20$ 回転するとき、歯車 $\mathrm{B}$ は毎分 $y$ 回転する。

歯車 $\mathrm{B}$ が毎分 $48$ 回転するとき、歯車 $\mathrm{B}$ の歯数を求めなさい。

関数 $y=x^2$ のグラフと直線 $y=-x+2$ が 2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ で交わっている。ただし、点 $\mathrm{A}$ の $x$ 座標は負、点 $\mathrm{B}$ の $x$ 座標は正である。また、$y$ 軸上に点 $\mathrm{D}(0,-4)$ をとる。座標の 1 目もりを $1\text{cm}$ とする。

$△\mathrm{ABD}$ の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めなさい。

反比例 $y=\frac{a}{x}$ のグラフが点 $\mathrm{A}(2,6)$ を通っている。このグラフ上に、$x$ 座標が $8$ である点 $\mathrm{B}$ をとる。原点を $\mathrm{O}$ とする。
原点 $\mathrm{O}$ を通り、$△\mathrm{OAB}$ の面積を 2 等分する直線を $y=bx$ とするとき、$b$ の値を求めよ。ただし、$a$, $b$ は定数とする。

関数 $y=\frac{1}{3}{x}^2$ のグラフと直線 $y=x+6$ が 2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ で交わっている。ただし、点 $\mathrm{A}$ の $x$ 座標は点 $\mathrm{B}$ の $x$ 座標より小さいとする。原点を $\mathrm{O}$ とするとき、$△\mathrm{OAB}$ の面積を求めよ。ただし、座標の 1 目もりを 1 cm とする。

関数 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ のグラフ上に、$x$ 座標が $-2$ である点 $\mathrm{A}$ と、$x$ 座標が $4$ である点 $\mathrm{B}$ がある。原点を $\mathrm{O}$ とする。

$y$ 軸上に点 $\mathrm{C}$ を、$△\mathrm{ABC}$ の面積が $△\mathrm{OAB}$ の面積の $3$ 倍になるようにとる。点 $\mathrm{C}$ の $y$ 座標が正であるとき、点 $\mathrm{C}$ の座標を求めよ。

1 次関数 $y=ax+b$ について、$x$ の変域が $-2\leqq x\leqq 4$ のとき、$y$ の変域は $-1\leqq y\leqq 8$ である。ただし、$a<0$ とする。

$a$, $b$ の値を、この順に求めよ。

反比例 $y=\frac{a}{x}$ のグラフが点 $(3,4)$ を通っている。

このグラフ上の点のうち、$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点は何個あるか求めよ。

関数 $y=a{x}^2$ について、$x$ の値が $2$ から $6$ まで増加するときの変化の割合は $4$ である。

この関数で、$x$ の変域を $-3\leqq x\leqq 1$ とするとき、$y$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

関数 $y=a{x}^2$ について、$x$ の値が $1$ から $3$ まで増加するときの変化の割合は $-2$ である。

この関数で、$x$ の値が $t$ から $t+2$ まで増加するときの変化の割合は、$x$ の値が $-1$ から $5$ まで増加するときの変化の割合のちょうど $3$ 倍である。

$x$ の変域を $t\leqq x\leqq t+2$ とするとき、$y$ の最小値を求めなさい。

座標平面上に、2 直線 $\ell :y=\frac{1}{2}x+3$ と $m:y=-2x+8$ がある。直線 $\ell$ と $x$ 軸の交点を $\mathrm{A}$、直線 $m$ と $x$ 軸の交点を $\mathrm{B}$、直線 $\ell$ と直線 $m$ の交点を $\mathrm{C}$ とする。

$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点のうち、$△\mathrm{ABC}$ の内部にある点の個数を求めなさい。ただし、$△\mathrm{ABC}$ の辺上にある点は含めない。

$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$、$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ }$ の台形 $\mathrm{ABCD}$ があり、$\mathrm{AB}=8\text{cm}$、$\mathrm{AD}=6\text{cm}$、$\mathrm{BC}=12\text{cm}$ である。

点 $\mathrm{P}$ は頂点 $\mathrm{A}$ を出発し、台形の辺上を $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}$ の順に毎秒 $2\text{cm}$ の速さで動き、$\mathrm{D}$ に着いたら止まる。点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ を出発してから $x$ 秒後の $△\mathrm{APD}$ の面積を $y{\text{cm}}^2$ とする（$\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ または $\mathrm{D}$ にあるときは $y=0$ とする）。

$y=18$ となるときの $x$ の値は 2 つある。その 2 つの値を、小さい順に組で求めなさい。

関数 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ のグラフ上に 2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ があり、点 $\mathrm{A}$ の $x$ 座標は $t$、点 $\mathrm{B}$ の $x$ 座標は $t+4$ である。この関数で、$x$ の値が $t$ から $t+4$ まで増加するときの変化の割合は $-3$ である。原点を $\mathrm{O}$ とし、座標の 1 目もりを $1\text{cm}$ とする。

$△\mathrm{OAB}$ の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めなさい。

座標平面上に 3 点 $\mathrm{A}(1,2)$, $\mathrm{B}(7,4)$, $\mathrm{C}(5,8)$ がある。四角形 $\mathrm{ABCD}$ が平行四辺形になるように点 $\mathrm{D}$ をとる。

点 $\mathrm{E}(0,-1)$ を通り、平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ の面積を 2 等分する直線を $\ell$ とする。直線 $\ell$ と辺 $\mathrm{AB}$ の交点の座標を求めなさい。

座標平面上に、原点 $\mathrm{O}$ と、2 直線 $\ell :y=3x$、$m:y=-2x+20$ がある。直線 $\ell$ と直線 $m$ の交点を $\mathrm{B}$、直線 $m$ と $x$ 軸の交点を $\mathrm{A}$ とする。また、線分 $\mathrm{AB}$ 上に $x$ 座標が $8$ である点 $\mathrm{P}$ をとる。

点 $\mathrm{P}$ を通り、$△\mathrm{OAB}$ の面積を 2 等分する直線の式を $y=ax+b$ とするとき、$a$, $b$ の値を組 $(a,b)$ の形で求めよ。

反比例 $y=\frac{24}{x}$ $(x>0)$ のグラフ上に、$x$ 座標が $2$ である点 $\mathrm{A}$ と、$x$ 座標が $8$ である点 $\mathrm{B}$ をとる。原点を $\mathrm{O}$ とする。

比例 $y=ax$ のグラフが線分 $\mathrm{AB}$ と交わる点を $\mathrm{P}$ とする。$△\mathrm{OAP}$ と $△\mathrm{OPB}$ の面積の比が $1:2$ となるとき、$a$ の値を求めよ。

関数 $y=a{x}^2$（$a>0$）のグラフ上に 2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ があり、点 $\mathrm{A}$ の $x$ 座標は $-4$、点 $\mathrm{B}$ の $x$ 座標は $2$ である。原点を $\mathrm{O}$ とすると、$△\mathrm{OAB}$ の面積は $12$ である。

$y$ 軸上の、$y$ 座標が正である点 $\mathrm{C}$ について、$△\mathrm{ABC}$ の面積が $△\mathrm{OAB}$ の面積の $2$ 倍になるとき、点 $\mathrm{C}$ の $y$ 座標を求めよ。

2 つの反比例 $y=\frac{12}{x}$（$x>0$）と $y=\frac{3}{x}$（$x>0$）のグラフがある。$y=\frac{12}{x}$ のグラフ上に、$x$ 座標が $t$（$t>0$）である点 $\mathrm{A}$ をとる。点 $\mathrm{A}$ を通り $y$ 軸に平行な直線と $y=\frac{3}{x}$ のグラフとの交点を $\mathrm{B}$、点 $\mathrm{A}$ を通り $x$ 軸に平行な直線と $y=\frac{3}{x}$ のグラフとの交点を $\mathrm{C}$ とする。

$△\mathrm{ABC}$ の面積は $t$ の値によらず一定である。その面積を求めよ。

関数 $y=a{x}^2$ について、$x$ の変域が $-3\leqq x\leqq b$ のとき、$y$ の変域は $0\leqq y\leqq 18$ である。また、$x$ の値が $-3$ から $b$ まで増加するときの変化の割合は $-4$ である。ただし、$a\ne 0$、$b>-3$ とする。

$a$, $b$ の値を、この順に求めよ。

長方形 $\mathrm{ABCD}$ があり、$\mathrm{AB}=8\text{cm}$、$\mathrm{AD}=6\text{cm}$ である。点 $\mathrm{P}$ は頂点 $\mathrm{A}$ を出発し、毎秒 $2\text{cm}$ の速さで辺 $\mathrm{AB}$ 上を $\mathrm{B}$ まで進み、続けて辺 $\mathrm{BC}$ 上を $\mathrm{C}$ に向かって進む。点 $\mathrm{Q}$ は点 $\mathrm{P}$ と同時に頂点 $\mathrm{A}$ を出発し、毎秒 $1\text{cm}$ の速さで辺 $\mathrm{AD}$ 上を $\mathrm{D}$ に向かって進む。2 点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ は、出発してから $6$ 秒後に同時に止まる。

出発してから $x$ 秒後（$0<x\leqq 6$）について考える。$△\mathrm{APQ}$ の面積が $△\mathrm{PBQ}$ の面積のちょうど $3$ 倍になるときは 2 回ある。それは出発してから何秒後か。小さい順に求めよ。

座標平面上に、4 点 $\mathrm{O}(0,0)$, $\mathrm{A}(10,0)$, $\mathrm{B}(10,3)$, $\mathrm{C}(0,3)$ を頂点とする長方形 $\mathrm{OABC}$ がある。また、$t$ を $0\leqq t\leqq 10$ を満たす数として、3 点 $\mathrm{P}(t,0)$, $\mathrm{Q}(t-12,0)$, $\mathrm{R}(t-12,6)$ を頂点とする直角三角形 $\mathrm{PQR}$ を考える。

三角形 $\mathrm{PQR}$ は、形を変えずに $x$ 軸の正の向きに毎秒 $1$ の速さで動き、動き始めてから $t$ 秒後に上の位置にある。$t$ 秒後に、長方形 $\mathrm{OABC}$ と三角形 $\mathrm{PQR}$ が重なっている部分の面積を $S$ とする。

$a$ は $0<a\leqq 5$ を満たす数とする。$a$ 秒後の $S$ と $2a$ 秒後の $S$ の比が $4:15$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

座標平面上に 2 点 $\mathrm{A}(2,5)$, $\mathrm{B}(8,1)$ がある。$y$ 軸上に点 $\mathrm{Q}$、$x$ 軸上に点 $\mathrm{P}$ をとり、折れ線 $\mathrm{A}\to \mathrm{Q}\to \mathrm{P}\to \mathrm{B}$ の長さ $\mathrm{AQ}+\mathrm{QP}+\mathrm{PB}$ が最も短くなるようにする。このときの点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。

反比例 $y=\frac{a}{x}$ のグラフが点 $\mathrm{A}(2,6)$ を通っている。このグラフ上で $x$ 座標が $6$ である点を $\mathrm{B}$ とし、点 $\mathrm{B}$ から $x$ 軸に垂線をひき、$x$ 軸との交点を $\mathrm{C}$ とする。原点を $\mathrm{O}$ とする。

比例のグラフ $y=mx$ が四角形 $\mathrm{OCBA}$ の面積を 2 等分するとき、比例定数 $m$ の値を求めなさい。