関数の問題

$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$、$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ }$ の台形 $\mathrm{ABCD}$ があり、$\mathrm{AB}=8\text{cm}$、$\mathrm{AD}=6\text{cm}$、$\mathrm{BC}=12\text{cm}$ である。

点 $\mathrm{P}$ は頂点 $\mathrm{A}$ を出発し、台形の辺上を $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}$ の順に毎秒 $2\text{cm}$ の速さで動き、$\mathrm{D}$ に着いたら止まる。点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ を出発してから $x$ 秒後の $△\mathrm{APD}$ の面積を $y{\text{cm}}^2$ とする（$\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ または $\mathrm{D}$ にあるときは $y=0$ とする）。

$y=18$ となるときの $x$ の値は 2 つある。その 2 つの値を、小さい順に組で求めなさい。

$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$、$\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ }$ の台形 $\mathrm{ABCD}$ があり、$\mathrm{AB}=6\text{cm}$、$\mathrm{AD}=4\text{cm}$、$\mathrm{BC}=10\text{cm}$ である。点 $\mathrm{P}$ は頂点 $\mathrm{B}$ を出発し、辺 $\mathrm{BC}$ 上を毎秒 $2\text{cm}$ の速さで頂点 $\mathrm{C}$ まで動く。

点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{B}$ を出発してから $x$ 秒後の四角形 $\mathrm{ABPD}$ の面積を $y{\text{cm}}^2$ とする。ただし、$x=0$ のときは $△\mathrm{ABD}$ の面積を $y$ とする。

$y$ が台形 $\mathrm{ABCD}$ の面積のちょうど半分になるのは、点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{B}$ を出発してから何秒後か求めなさい。

長方形 $\mathrm{ABCD}$ があり、$\mathrm{AB}=6\text{ cm}$、$\mathrm{BC}=10\text{ cm}$ である。点 $\mathrm{P}$ は頂点 $\mathrm{A}$ を出発し、長方形の辺上を $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}$ の順に毎秒 $2\text{ cm}$ の速さで動き、頂点 $\mathrm{D}$ で止まる。点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ を出発してから $x$ 秒後の $△\mathrm{APD}$ の面積を $y{\text{ cm}}^2$ とする。ただし、$0<x<11$ とする。

$y=18$ となる $x$ の値を、小さい順に求めよ。

関数 $y=a{x}^2$（$a>0$）のグラフ上に 2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ があり、点 $\mathrm{A}$ の $x$ 座標は $-4$、点 $\mathrm{B}$ の $x$ 座標は $2$ である。原点を $\mathrm{O}$ とすると、$△\mathrm{OAB}$ の面積は $12$ である。

$y$ 軸上の、$y$ 座標が正である点 $\mathrm{C}$ について、$△\mathrm{ABC}$ の面積が $△\mathrm{OAB}$ の面積の $2$ 倍になるとき、点 $\mathrm{C}$ の $y$ 座標を求めよ。

座標平面上に、4 点 $\mathrm{O}(0,0)$, $\mathrm{A}(10,0)$, $\mathrm{B}(10,3)$, $\mathrm{C}(0,3)$ を頂点とする長方形 $\mathrm{OABC}$ がある。また、$t$ を $0\leqq t\leqq 10$ を満たす数として、3 点 $\mathrm{P}(t,0)$, $\mathrm{Q}(t-12,0)$, $\mathrm{R}(t-12,6)$ を頂点とする直角三角形 $\mathrm{PQR}$ を考える。

三角形 $\mathrm{PQR}$ は、形を変えずに $x$ 軸の正の向きに毎秒 $1$ の速さで動き、動き始めてから $t$ 秒後に上の位置にある。$t$ 秒後に、長方形 $\mathrm{OABC}$ と三角形 $\mathrm{PQR}$ が重なっている部分の面積を $S$ とする。

$a$ は $0<a\leqq 5$ を満たす数とする。$a$ 秒後の $S$ と $2a$ 秒後の $S$ の比が $4:15$ であるとき、$a$ の値を求めよ。