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関数の問題

難易度 4公立高校入試の難問・私立高校入試レベル中学数学関数

座標平面上に、4 点 $O (0, 0)$ , $A (10, 0)$ , $B (10, 3)$ , $C (0, 3)$ を頂点とする長方形 $OABC$ がある。また、 $t$ を $0 ≦ t ≦ 10$ を満たす数として、3 点 $P (t, 0)$ , $Q (t - 12, 0)$ , $R (t - 12, 6)$ を頂点とする直角三角形 $PQR$ を考える。

三角形 $PQR$ は、形を変えずに $x$ 軸の正の向きに毎秒 $1$ の速さで動き、動き始めてから $t$ 秒後に上の位置にある。 $t$ 秒後に、長方形 $OABC$ と三角形 $PQR$ が重なっている部分の面積を $S$ とする。

$a$ は $0 < a ≦ 5$ を満たす数とする。 $a$ 秒後の $S$ と $2 a$ 秒後の $S$ の比が $4 : 15$ であるとき、 $a$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

動く点と面積の変化（説明と入口の問題）
因数分解による 2 次方程式の解き方（説明と入口の問題）
比の性質と簡単な比（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（23 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

斜辺 $RP$ の高さが長方形の高さ $3$ に届くのはいつかを考え、 $t$ の範囲を分けて $S$ を $t$ の式で表しましょう。

ヒント 2

斜辺は $P$ から左へ $6$ 進むと高さ $3$ になります。 $0 ≦ t ≦ 6$ では重なりは直角三角形、 $6 ≦ t ≦ 10$ では長方形と直角三角形を合わせた形になります。

ヒント 3

$0 ≦ t ≦ 6$ で $S = \frac{1}{4} t^{2}$ 、 $6 ≦ t ≦ 10$ で $S = 3 t - 9$ です。 $a$ と $2 a$ がそれぞれどちらの範囲に入るかで場合分けして、比の式を立てましょう。

答えと解説

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4

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解説を読む

三角形 $PQR$ は $∠ Q = 9 0^{\circ}$ の直角三角形で、 $QP = 12$ 、 $QR = 6$ である。斜辺 $RP$ は、 $x$ 座標が $1$ 減るごとに $y$ 座標が $\frac{1}{2}$ 増える直線なので、 $P$ から左へ $6$ 進んだところ（ $x = t - 6$ ）で高さがちょうど $3$ になる。また $0 ≦ t ≦ 10$ では $Q$ の $x$ 座標 $t - 12$ は負なので、重なる部分は $0 ≦ x ≦ t$ の範囲にある。

(1) $0 ≦ t ≦ 6$ のとき

重なる部分は、3 点 $(0, 0)$ , $(t, 0)$ , $(0, \frac{t}{2})$ を頂点とする直角三角形である（高さ $\frac{t}{2} ≦ 3$ なので長方形からはみ出さない）。
$S = \frac{1}{2} \times t \times \frac{t}{2} = \frac{1}{4} t^{2}$

(2) $6 ≦ t ≦ 10$ のとき

$0 ≦ x ≦ t - 6$ の部分は斜辺が長方形の上の辺 $y = 3$ より上にあるので、縦 $3$ 、横 $t - 6$ の長方形になる。 $t - 6 ≦ x ≦ t$ の部分は、底辺 $6$ 、高さ $3$ の直角三角形になる。
$S = 3 (t - 6) + \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 3 t - 18 + 9 = 3 t - 9$

$a$ の値

$0 < a ≦ 5$ より $0 < 2 a ≦ 10$ である。

- $0 < a ≦ 3$ のとき、 $a$ も $2 a$ も $6$ 以下なので、 $a$ 秒後の $S$ は $\frac{1}{4} a^{2}$ 、 $2 a$ 秒後の $S$ は $\frac{1}{4} (2 a)^{2} = a^{2}$ で、比は $1 : 4$ となり、 $4 : 15$ にならない。
- $3 ≦ a ≦ 5$ のとき、 $a ≦ 6 ≦ 2 a ≦ 10$ なので、 $a$ 秒後の $S$ は $\frac{1}{4} a^{2}$ 、 $2 a$ 秒後の $S$ は $3 \times 2 a - 9 = 6 a - 9$ である。
$\frac{1}{4} a^{2} : (6 a - 9) = 4 : 15$
$15 \times \frac{1}{4} a^{2} = 4 (6 a - 9)$
両辺を $4$ 倍して
$15 a^{2} = 96 a - 144, 15 a^{2} - 96 a + 144 = 0, 5 a^{2} - 32 a + 48 = 0$
$(a - 4) (5 a - 12) = 0, a = 4, \frac{12}{5}$
$3 ≦ a ≦ 5$ を満たすのは $a = 4$ である。

（確かめ） $4$ 秒後の $S = \frac{1}{4} \times 16 = 4$ 、 $8$ 秒後の $S = 3 \times 8 - 9 = 15$ で、比は $4 : 15$ である。

よって $a = 4$ 。

別解

三角形 $PQR$ は $Q$ で直角、 $PQ = 12$ , $QR = 6$ 。斜辺 $PR$ は、 $P (t, 0)$ から左へ $u$ 進むごとに高さが $\frac{u}{2}$ ずつ増える。すなわち $P$ から左へ $u$ の位置での三角形の高さは $\frac{u}{2}$ 。
長方形は $0 ≦ x ≦ 10$ , $0 ≦ y ≦ 3$ 。 $0 ≦ t ≦ 10$ なので $P$ は長方形の内部か辺上にあり、 $Q$ の $x$ 座標 $t - 12 < 0$ なので、重なり部分は $x$ が $0$ から $t$ の範囲。
$u = t - x$ とおくと、重なりの高さは $min (\frac{u}{2}, 3)$ （ $\frac{u}{2} = 3$ は $u = 6$ のとき）。
・ $0 ≦ t ≦ 6$ : 重なりは底辺 $t$ 、高さ $\frac{t}{2}$ の直角三角形で $S = \frac{1}{2} \cdot t \cdot \frac{t}{2} = \frac{t ^{2}}{4}$ 。
・ $6 ≦ t ≦ 10$ : 重なりは、底辺 $6$ ・高さ $3$ の直角三角形 $9$ と、横 $t - 6$ ・縦 $3$ の長方形 $3 (t - 6)$ の和で $S = 3 t - 9$ 。
$a$ 秒後と $2 a$ 秒後（ $0 < a ≦ 5$ より $0 < 2 a ≦ 10$ ）で $S (a) : S (2 a) = 4 : 15$ 、すなわち $15 S (a) = 4 S (2 a)$ 。
(i) $0 < a ≦ 3$ : $S (a) = \frac{a ^{2}}{4}$ , $S (2 a) = a^{2}$ 。 $\frac{15}{4} a^{2} = 4 a^{2}$ となり $a > 0$ では成り立たない。
(ii) $3 < a ≦ 5$ : $S (a) = \frac{a ^{2}}{4}$ （ $a ≦ 6$ ）, $S (2 a) = 3 \cdot 2 a - 9 = 6 a - 9$ （ $2 a ≧ 6$ ）。
$\frac{15}{4} a^{2} = 4 (6 a - 9)$ より $15 a^{2} - 96 a + 144 = 0$ 、 $5 a^{2} - 32 a + 48 = 0$ 、 $(5 a - 12) (a - 4) = 0$ 、 $a = \frac{12}{5}$ または $a = 4$ 。 $3 < a ≦ 5$ より $a = 4$ 。
検算: $S (4) = \frac{16}{4} = 4$ , $S (8) = 24 - 9 = 15$ 。比は $4 : 15$ ✓。

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