関数の問題

各点の座標

$3x=-2x+20$ を解くと $x=4$、このとき $y=12$ なので $\mathrm{B}(4,12)$。

$m$ の式で $y=0$ とすると $0=-2x+20$ より $x=10$ なので $\mathrm{A}(10,0)$。

$\mathrm{P}$ は $m$ 上で $x=8$ なので $y=-16+20=4$、$\mathrm{P}(8,4)$。

$△\mathrm{OAB}$ の面積

底辺 $\mathrm{OA}=10$、高さは $\mathrm{B}$ の $y$ 座標 $12$ なので
$$△\mathrm{OAB}=\frac{1}{2}\times 10\times 12=60$$
よって、求める直線は面積を $30$ ずつに分ける。

直線がどの辺と交わるか

$\mathrm{A}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{B}$ の $x$ 座標はそれぞれ $10$, $8$, $4$ なので
$$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=(10-8):(8-4)=2:4=1:2$$
$△\mathrm{OAP}$ と $△\mathrm{OPB}$ は、底辺をそれぞれ $\mathrm{AP}$, $\mathrm{PB}$ とみると高さが共通なので、面積の比は $1:2$ である。よって
$$△\mathrm{OAP}=60\times \frac{1}{3}=20,△\mathrm{OPB}=60\times \frac{2}{3}=40$$
もし直線が辺 $\mathrm{OA}$ と交わるなら、切り取られる三角形の面積は $△\mathrm{OAP}=20$ 以下になり $30$ にならない。したがって、直線は辺 $\mathrm{OB}$ 上の点 $\mathrm{Q}$ を通り、$△\mathrm{PBQ}=30$ となる。

点 $\mathrm{Q}$ の座標

$△\mathrm{PBQ}$ と $△\mathrm{PBO}$ は、底辺をそれぞれ $\mathrm{BQ}$, $\mathrm{BO}$ とみると高さが共通なので
$$\mathrm{BQ}:\mathrm{BO}=△\mathrm{PBQ}:△\mathrm{PBO}=30:40=3:4$$
よって $\mathrm{BQ}:\mathrm{QO}=3:1$。$\mathrm{Q}$ は $\mathrm{OB}$ 上にあり、$x$ 座標は $\mathrm{O}$ の $0$ と $\mathrm{B}$ の $4$ を $1:3$ に分ける値（$\mathrm{O}$ から $\frac{1}{4}$ の位置）なので
$$x=4\times \frac{1}{4}=1,y=3\times 1=3$$
より $\mathrm{Q}(1,3)$。

直線 $\mathrm{PQ}$ の式

傾きは
$$a=\frac{4-3}{8-1}=\frac{1}{7}$$
$y=\frac{1}{7}x+b$ に $\mathrm{Q}(1,3)$ を代入すると $3=\frac{1}{7}+b$ より $b=\frac{20}{7}$。

（確認：$x=8$ のとき $y=\frac{8}{7}+\frac{20}{7}=4$ で、$\mathrm{P}$ を通る。）

よって $(a,b)=\left(\frac{1}{7},\frac{20}{7}\right)$。

連立して点 $\mathrm{B}$ を求める。$3x=-2x+20$ より $x=4$、$y=12$ なので $\mathrm{B}(4,12)$。直線 $m$ と $x$ 軸の交点は $0=-2x+20$ より $\mathrm{A}(10,0)$。点 $\mathrm{P}$ は $x=8$ のとき $y=-2\times 8+20=4$ なので $\mathrm{P}(8,4)$。

$△\mathrm{OAB}$ の面積は $\frac{1}{2}\times 10\times 12=60$ なので、半分は $30$。

$△\mathrm{OAP}$ の面積は $\frac{1}{2}\times 10\times 4=20$、$△\mathrm{OBP}=60-20=40$。

点 $\mathrm{P}$ を通る直線が辺 $\mathrm{OA}$ と交わるとすると、その点を $\mathrm{Q}$ として $△\mathrm{APQ}=\frac{1}{2}\times \mathrm{AQ}\times 4=30$ より $\mathrm{AQ}=15>10$ となり不適。よって直線は辺 $\mathrm{OB}$ と交わる。その交点を $\mathrm{Q}$ とする。

$△\mathrm{PBQ}=30$ で、$△\mathrm{OBP}=40$ と高さ（点 $\mathrm{P}$ から直線 $\mathrm{OB}$ への距離）が共通なので、$\mathrm{BQ}:\mathrm{BO}=30:40=3:4$。よって $\mathrm{Q}$ は $\mathrm{B}$ から $\mathrm{O}$ へ向かって $\frac{3}{4}$ の位置にあり、$\mathrm{Q}(4\times \frac{1}{4},12\times \frac{1}{4})=(1,3)$（$\mathrm{Q}$ は $y=3x$ 上にあり確かに成り立つ）。

直線 $\mathrm{PQ}$ の傾きは $\frac{4-3}{8-1}=\frac{1}{7}$。$(1,3)$ を通るので $3=\frac{1}{7}+b$ より $b=\frac{20}{7}$。

検算: $y=\frac{1}{7}x+\frac{20}{7}$ に $x=8$ を代入すると $y=\frac{28}{7}=4$ で $\mathrm{P}$ を通る。$△\mathrm{PBQ}$ は、$\mathrm{B}(4,12)$, $\mathrm{P}(8,4)$, $\mathrm{Q}(1,3)$ から $\frac{1}{2}|(8-4)(3-12)-(1-4)(4-12)|=\frac{1}{2}|-36-24|=30$ となり、面積の半分に一致する。

よって $(a,b)=\left(\frac{1}{7},\frac{20}{7}\right)$。