関数の問題

3 点の座標

$\ell$ で $y=0$ とすると $\frac{1}{2}x+3=0$ より $x=-6$。よって $\mathrm{A}(-6,0)$。

$m$ で $y=0$ とすると $-2x+8=0$ より $x=4$。よって $\mathrm{B}(4,0)$。

$\ell$ と $m$ の交点は $\frac{1}{2}x+3=-2x+8$ より $\frac{5}{2}x=5$、$x=2$、$y=4$。よって $\mathrm{C}(2,4)$。

内部の点の条件

$△\mathrm{ABC}$ の内部の点は $0<y<4$ で、直線 $\ell$ より右側、直線 $m$ より左側にある。$y$ 座標が整数なので $y=1,2,3$ の場合を調べる。

直線 $\ell$ を $x$ について解くと $x=2y-6$、直線 $m$ を $x$ について解くと $x=\frac{8-y}{2}$ である。$y$ を決めたとき、内部の点の $x$ 座標は

$$2y-6<x<\frac{8-y}{2}$$

を満たす。

• $y=1$ のとき $-4<x<\frac{7}{2}$ より $x=-3,-2,-1,0,1,2,3$ の $7$ 個
• $y=2$ のとき $-2<x<3$ より $x=-1,0,1,2$ の $4$ 個
• $y=3$ のとき $0<x<\frac{5}{2}$ より $x=1,2$ の $2$ 個

よって、求める個数は $7+4+2=13$（個）である。

$\ell$ と $x$ 軸の交点は $0=\frac{1}{2}x+3$ より A$(-6,0)$。$m$ と $x$ 軸の交点は $0=-2x+8$ より B$(4,0)$。
$\frac{1}{2}x+3=-2x+8$ より $x=2$、$y=4$ で C$(2,4)$。
内部の点の $y$ 座標は $0<y<4$ の整数 $y=1,2,3$。
$y=k$ のとき、$\ell$ 上で $x=2k-6$、$m$ 上で $x=4-\frac{k}{2}$。内部の点はこの間（端を含まない）にある。
$k=1$: $-4<x<3.5$ より $x=-3,-2,-1,0,1,2,3$ の $7$ 個。
$k=2$: $-2<x<3$ より $x=-1,0,1,2$ の $4$ 個。
$k=3$: $0<x<2.5$ より $x=1,2$ の $2$ 個。
合計 $7+4+2=13$ 個。
検算（ピックの定理）: 面積 $\frac{1}{2}\times 10\times 4=20$。辺上の格子点は AB で $10$、AC で $4$、BC で $2$ の計 $16$ 個。内部の点は $20-\frac{16}{2}+1=13$。