関数の問題

点 $\mathrm{D}$ と対角線の交点

平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ では $\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$、$\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ である。$\mathrm{B}$ から $\mathrm{C}$ へは $x$ 座標が $-2$、$y$ 座標が $+4$ 変化するので、$\mathrm{A}$ から同じだけ移動して $\mathrm{D}(-1,6)$ である。

平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる。対角線 $\mathrm{AC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とすると

$$\mathrm{M}\left(\frac{1+5}{2},\frac{2+8}{2}\right)=(3,5)$$

（$\mathrm{BD}$ の中点も $\left(\frac{7-1}{2},\frac{4+6}{2}\right)=(3,5)$ で一致する。）

面積を 2 等分する直線は $\mathrm{M}$ を通る

平行四辺形は対角線の交点 $\mathrm{M}$ を対称の中心とする点対称な図形である。そのため、$\mathrm{M}$ を通る直線は平行四辺形を合同な 2 つの図形に分け、面積を 2 等分する。

逆に、$\mathrm{M}$ を通らない直線 $m$ は面積を 2 等分しない。$m$ と平行で $\mathrm{M}$ を通る直線を $n$ とすると、$n$ は面積を 2 等分する。$m$ が平行四辺形と交わらなければ、$m$ の片側の面積は $0$ である。$m$ が平行四辺形と交わるとき、$m$ について $\mathrm{M}$ を含む側には、$n$ で分けた半分の部分全体に加えて、$m$ と $n$ にはさまれた部分もふくまれる。はさまれた部分の面積は $0$ より大きいので、$\mathrm{M}$ を含む側の面積は全体の半分より大きくなる。

したがって、面積を 2 等分する直線は必ず $\mathrm{M}$ を通る。$\ell$ は $\mathrm{E}$ と $\mathrm{M}$ の両方を通るので、2 点 $\mathrm{E}(0,-1)$, $\mathrm{M}(3,5)$ を通る直線である。

直線 $\ell$ の式

傾きは $\frac{5-(-1)}{3-0}=2$、切片は $-1$ なので、$\ell :y=2x-1$。

直線 $\mathrm{AB}$ の式

傾きは $\frac{4-2}{7-1}=\frac{1}{3}$。$y=\frac{1}{3}x+b$ に $\mathrm{A}(1,2)$ を代入すると $2=\frac{1}{3}+b$、$b=\frac{5}{3}$。よって $y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$。

交点

$$2x-1=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$$

両辺を $3$ 倍して $6x-3=x+5$、$5x=8$、$x=\frac{8}{5}$。

$y=2\times \frac{8}{5}-1=\frac{11}{5}$。

$x=\frac{8}{5}$ は $1\leqq x\leqq 7$ を満たすので、この点は辺 $\mathrm{AB}$ 上にある。よって求める座標は $\left(\frac{8}{5},\frac{11}{5}\right)$ である。

平行四辺形 ABCD では対角線 AC と BD の中点が一致するので、D の座標を $(p,q)$ とすると、AC の中点は $\left(\frac{1+5}{2},\frac{2+8}{2}\right)=(3,5)$、BD の中点は $\left(\frac{7+p}{2},\frac{4+q}{2}\right)$。よって $p=-1,q=6$ で D$(-1,6)$。

平行四辺形の面積を 2 等分する直線は、対角線の交点 M$(3,5)$ を通る。したがって $\ell$ は E$(0,-1)$ と M$(3,5)$ を通る直線で、傾きは $\frac{5-(-1)}{3-0}=2$、切片は $-1$ なので $\ell :y=2x-1$。

直線 AB は傾き $\frac{4-2}{7-1}=\frac{1}{3}$ で A$(1,2)$ を通るので $y=\frac{1}{3}(x-1)+2=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$。

$2x-1=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$ より $6x-3=x+5$、$5x=8$、$x=\frac{8}{5}$。このとき $y=2\cdot \frac{8}{5}-1=\frac{11}{5}$。$1\le \frac{8}{5}\le 7$ なので辺 AB 上にある。

検算: $y=\frac{1}{3}\cdot \frac{8}{5}+\frac{5}{3}=\frac{8}{15}+\frac{25}{15}=\frac{33}{15}=\frac{11}{5}$ で一致する。