座標平面上に 3 点 、、 があります。点 を通り、 の面積を 2 等分する直線の式を求め、 を の式で表しなさい。
三角形の面積を分ける直線
頂点や辺上の点を通り、三角形の面積を 2 等分する直線や、面積の比が などになる直線の式を、辺の中点や辺を分ける点の座標を使って求められる
前提
- 座標平面上の三角形の面積 （中学数学 関数）
- 高さが等しい三角形の面積の比 （算数 平面図形）
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- 高さが等しい三角形の面積の比 （算数 平面図形）
説明
座標平面上の三角形について、頂点や辺上の点を通り、三角形の面積を 2 等分する直線や、面積を などの比に分ける直線の式を求められるようになります。カギは、高さが等しい三角形の面積の比が底辺の比になることを使って「辺をどんな比に分ける点を通ればよいか」を決め、その点の座標を求めることです。関数のグラフと図形の融合問題でよく出てきます。
なぜそうしてよいのか
頂点を通る場合. 三角形 ABC で、頂点 A を通る直線が辺 BC と点 P で交わると、三角形は三角形 ABP と三角形 APC に分かれます。この 2 つの三角形は、底辺 BP、PC がどちらも直線 BC の上にあり、頂点 A が共通なので高さが等しくなります。高さが等しい三角形の面積の比は底辺の比なので、 です。だから、面積を 2 等分したければ 、つまり P を辺 BC の中点にすればよく、 にしたければ となる点をとればよいのです。
辺上の点を通る場合. 辺 BC 上の点 D を通る直線で面積を分けるときは、直線がもう 1 つの辺（たとえば辺 AB）と交わる点を Q として、三角形 QBD の面積を考えます。三角形 ABC の面積を とすると、 と は頂点 A が共通で底辺が直線 BC 上にあるので 。さらに と は頂点 D が共通で底辺 BQ、BA が直線 AB 上にあるので 。合わせて です。たとえば で面積を 2 等分したいなら、 より 、つまり の点 Q をとればよいとわかります。なお、Q が辺 AB 上にくるのは が求める面積以上のとき（2 等分なら のとき）です。そうでなければ、直線は辺 AC と交わるので、C の側で同じように考えます。D が中点なら直線は頂点 A を通り、頂点の場合と同じになります。
点の座標. B から C へ線分の上を進むとき、 座標も 座標も進んだ距離に比例して変わります（線分は 1 次関数のグラフの一部で傾きが一定だからです。辺が 軸に平行なら は変わりません）。B、C のとき、中点はちょうど半分進んだ点なので 、 となる点 P は全体の だけ進んだ点なので、 座標は 、 座標も同じように求められます。最後に、直線が通る 2 点から、1 次関数の式の求め方で直線の式を求めます。ただし 2 点の 座標が等しいときは、直線は 軸に平行になり の形では表せません。そのときは、たとえば 2 点の 座標がどちらも なら のように表します。
手順
直線が通る点を確認する。頂点 A なら向かい側の辺 BC を決める。辺 BC 上の点 D なら、直線がもう 1 つのどの辺（AB か AC）と交わるかを決める
頂点を通る場合: 求める面積の比を、向かい側の辺を分ける比 に読みかえる（2 等分なら 、 なら ）
辺上の点 D を通り辺 AB と Q で交わる場合: が求める面積になるように、 を決める
分ける点の座標を求める。中点なら 、 に分ける点なら 座標は （ 座標も同様）
直線が通る 2 点から傾きと切片を求め、 の形で表す。2 点の 座標が等しいときは 軸に平行な直線なので、 のような形で表す
例題
3 点 A、B、C を頂点とする三角形 ABC がある。点 A を通り、三角形 ABC の面積を 2 等分する直線の式を の形で表すとき、右辺の式 を求めよ。
例題の解答
手順 1: 直線は頂点 A を通るので、向かい側の辺は BC。
手順 2: 直線と辺 BC の交点を P とすると、 と は高さが等しいので、面積を 2 等分するには 、つまり P は辺 BC の中点。（手順 3 は辺上の点を通る場合なので、ここでは使わない。）
手順 4: P の座標は 。
手順 5: A と P の 座標は と で異なるので、 の形で表せる。直線 AP の傾きは 。 に A を代入して 、。確かめ: のとき で P を通る。
よって 。
答え:
よくある誤り
頂点と向かい側の辺を取り違える誤り。A を通る直線なのに、辺 AB の中点 を使って直線を引くのは誤り。A を通る直線は辺 AB と A でしか交わらないので、正しくは向かい側の辺 BC の中点 を使う
辺上の点 D を通る直線で、もう 1 つの辺の中点を通ればよいとしてしまう誤り。 のとき辺 AB の中点 Q を通ると で 2 等分にならない。正しくは から の点を通る
面積の比と辺の比の向きを逆にする誤り。 なのに、P を の点にとるのは誤り。 の底辺は BP なので、正しくは
に分ける点の座標を 倍で求める誤り。B、C で の P の 座標を とするのは誤り。BP は BC 全体の なので、正しくは
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
反比例 のグラフが点 を通っている。このグラフ上に、 座標が である点 をとる。原点を とする。
原点 を通り、 の面積を 2 等分する直線を とするとき、 の値を求めよ。ただし、, は定数とする。座標平面上に 3 点 , , がある。四角形 が平行四辺形になるように点 をとる。
点 を通り、平行四辺形 の面積を 2 等分する直線を とする。直線 と辺 の交点の座標を求めなさい。
座標平面上に、原点 と、2 直線 、 がある。直線 と直線 の交点を 、直線 と 軸の交点を とする。また、線分 上に 座標が である点 をとる。
点 を通り、 の面積を 2 等分する直線の式を とするとき、, の値を組 の形で求めよ。
反比例 のグラフ上に、 座標が である点 と、 座標が である点 をとる。原点を とする。
比例 のグラフが線分 と交わる点を とする。 と の面積の比が となるとき、 の値を求めよ。
反比例 のグラフが点 を通っている。このグラフ上で 座標が である点を とし、点 から 軸に垂線をひき、 軸との交点を とする。原点を とする。
比例のグラフ が四角形 の面積を 2 等分するとき、比例定数 の値を求めなさい。