座標平面上の三角形の面積

頂点の座標がわかる三角形の面積を、座標軸上の辺を底辺にしたり、 $y$ 軸などで 2 つに分けたりして求められる

前提

三角形・四角形の面積（算数平面図形）
1 次関数の式の求め方（中学数学関数）

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算数中学高校大学大学院

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説明

座標平面上で、3 つの頂点の座標がわかっている三角形の面積を求められるようになります。辺の 1 つが $x$ 軸や $y$ 軸の上にあればそれを底辺にし、そうでないときは $y$ 軸などで三角形を 2 つに分けて、それぞれの面積をたします。関数のグラフと図形を組み合わせた入試問題で、とてもよく使います。

なぜそうしてよいのか

三角形の面積は底辺×高さ÷2 です。座標平面では、 $x$ 軸や $y$ 軸に平行な線分の長さは、座標の差ですぐにわかります。たとえば $y$ 軸上の 2 点 $(0, 5)$ と $(0, - 1)$ の距離は $5 - (- 1) = 6$ です。また、点 $(p, q)$ から $y$ 軸までの距離（ $y$ 軸に垂直な方向の長さ）は、 $x$ 座標の大きさ（ $p$ が負なら $- p$ ）です。だから、底辺を座標軸の上（または軸に平行）にとれば、底辺も高さも座標から読み取れます。

3 つの辺がどれも座標軸の上にないときは、三角形を $y$ 軸で 2 つに切ります。原点 O と点 A、B を頂点とする三角形 OAB で、A が $y$ 軸の左、B が右にあれば、辺 AB と $y$ 軸の交点を C とすると、三角形 OAB は三角形 OAC と三角形 OBC に分かれます。どちらも $y$ 軸上の辺 OC を共通の底辺とし、高さはそれぞれ A、B から $y$ 軸までの距離です。C の座標は、直線 AB の式を求めて、その切片を読めばわかります。

このとき面積は $\frac{1}{2} \times O C \times (A の高さ + B の高さ)$ とまとめて計算でき、高さの和は A と B の $x$ 座標の差になります。

手順

3 つの頂点の座標を確認し、座標軸の上（または軸に平行）にある辺があるか調べる
そのような辺があれば、それを底辺とし、座標の差で底辺の長さを求める。残りの頂点からその軸までの距離を高さにして面積を計算する
そのような辺がなければ、2 点を通る直線の式を求め、その直線と $y$ 軸（または $x$ 軸）との交点 C の座標を求める
三角形を C を通る軸で 2 つに分け、軸上の線分（例: OC）を共通の底辺、各頂点から軸までの距離を高さとして、それぞれの面積を求めてたす

例題

原点を O とし、2 点 A $(- 2, 6)$ 、B $(4, 3)$ をとる。三角形 OAB の面積を求めよ。ただし、座標の 1 目もりは 1 cm とする（答えの単位は cm² で、数値だけを答えよ）。

例題の解答

手順 1: O $(0, 0)$ 、A $(- 2, 6)$ 、B $(4, 3)$ のどの 2 点も、同じ座標軸の上にはない。

手順 3: 直線 AB の傾きは $\frac{3 - 6}{4 - ( - 2 )} = \frac{- 3}{6} = - \frac{1}{2}$ 。 $y = - \frac{1}{2} x + b$ に B $(4, 3)$ を代入して $3 = - 2 + b$ 、 $b = 5$ 。よって直線 AB と $y$ 軸の交点は C $(0, 5)$ 。A は $y$ 軸の左、B は右にあるので、C は辺 AB 上にある。

手順 4: 三角形 OAB を三角形 OAC と三角形 OBC に分ける。共通の底辺 OC $= 5$ 。A から $y$ 軸までの距離は $2$ 、B から $y$ 軸までの距離は $4$ 。
三角形 OAC $= 5 \times 2 \div 2 = 5$ 、三角形 OBC $= 5 \times 4 \div 2 = 10$ 。
よって三角形 OAB $= 5 + 10 = 15$ （cm²）。

答え: $15$

よくある誤り

負の座標をそのまま長さにしてしまう誤り。A $(- 2, 6)$ から $y$ 軸までの距離を $- 2$ として、三角形 OAC $= 5 \times (- 2) \div 2 = - 5$ とするのは誤り。長さは正なので、正しくは $2$
高さを求めるとき、 $x$ 座標と $y$ 座標を取り違える誤り。 $y$ 軸上の OC を底辺にしたのに、A の高さを $y$ 座標の $6$ とするのは誤り。 $y$ 軸までの距離は $x$ 座標で決まるので、正しくは $2$
$y$ 軸との交点を求めずに、OA や OB を底辺にしてしまう誤り。OA は座標軸に平行でないので、その長さも高さも座標の差からは求められない。軸の上の辺を底辺にするために、C $(0, 5)$ を求めて 2 つに分ける
2 つに分けた三角形の面積を、ひいてしまう誤り。A と B が $y$ 軸の反対側にあるとき、三角形 OAB は OAC と OBC を合わせたものなので、正しくは $5 + 10 = 15$ とたす

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に、原点 $O (0, 0)$ 、点 $A (6, 0)$ 、点 $B (2, 5)$ があります。座標の 1 目もりを $1 cm$ とするとき、 $△ O A B$ の面積は何 $cm^{2}$ ですか。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

三角形の面積を分ける直線（中学数学関数）
放物線と直線でつくる三角形の面積（中学数学関数）