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比例・反比例の式とグラフ

$y=ax$、$y=\frac{a}{x}$ について、通る 1 点の座標から比例定数 $a$ を求め、グラフ上の点の座標を求められる（負の数の座標を含む）

前提

• 1 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 比例か反比例かを確かめ、式の形 $y=ax$ または $y=\frac{a}{x}$ を書く

2. グラフが通る点の $x$ 座標と $y$ 座標を、それぞれ式の $x$ と $y$ に代入する。負の数はかっこをつけて代入する

3. できた $a$ についての方程式を解いて、比例定数 $a$ を求め、式を書く（反比例なら $a=xy$、比例なら $a=\frac{y}{x}$ でもよい）

4. $x$ 座標がわかっている点は、$x$ の値を式に代入して $y$ 座標を計算する

5. $y$ 座標がわかっている点は、$y$ の値を式に代入してできた $x$ についての方程式を解く。反比例なら両辺に $x$ をかけて分母をはらう（例: $3=-\frac{12}{x}$ より $3x=-12$、$x=-4$）。反比例では $x\ne 0$ であることも確かめる

例題

よくある誤り

• 反比例で、比例定数を $\frac{y}{x}$ で求めてしまう誤り。点 $(-3,4)$ を通る反比例のとき $a=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}$ としてはいけません。正しくは $y=\frac{a}{x}$ に代入して $a=xy=(-3)\times 4=-12$ です。

• 負の数の符号を落としてしまう誤り。点 $(-2,6)$ を通る比例 $y=ax$ で $6=a\times 2$ として $a=3$ としてはいけません。正しくは $6=a\times (-2)$ なので $a=-3$ です。

• 比例で $y$ 座標から $x$ 座標を求めるとき、$y$ の値を $x$ の場所に入れて計算してしまう誤り。$y=2x$ で $y=6$ のとき $x=2\times 6=12$ としてはいけません。正しくは $y$ に $6$ を代入して $6=2x$ とし、これを解いて $x=3$ です。

• 反比例で $y$ 座標から $x$ 座標を求めるとき、わる順番を逆にしてしまう誤り。$y=-\frac{12}{x}$ で $y=3$ のとき $x=3÷(-12)=-\frac{1}{4}$ としてはいけません。正しくは $3=-\frac{12}{x}$ の両辺に $x$ をかけて $3x=-12$ とし、$x=-4$ です（$x\ne 0$ も満たしています）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  $y$ は $x$ に反比例し、そのグラフは点 $(3,-4)$ を通ります。このグラフ上にあって $x$ 座標が $-2$ である点の $y$ 座標を求めなさい。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  歯数が $36$ の歯車 $\mathrm{A}$ に、歯数が $x$ の歯車 $\mathrm{B}$ がかみ合っている。歯車 $\mathrm{A}$ が毎分 $20$ 回転するとき、歯車 $\mathrm{B}$ は毎分 $y$ 回転する。

  歯車 $\mathrm{B}$ が毎分 $48$ 回転するとき、歯車 $\mathrm{B}$ の歯数を求めなさい。

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  反比例 $y=\frac{a}{x}$ のグラフが点 $\mathrm{A}(2,6)$ を通っている。このグラフ上に、$x$ 座標が $8$ である点 $\mathrm{B}$ をとる。原点を $\mathrm{O}$ とする。
  原点 $\mathrm{O}$ を通り、$△\mathrm{OAB}$ の面積を 2 等分する直線を $y=bx$ とするとき、$b$ の値を求めよ。ただし、$a$, $b$ は定数とする。

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  反比例 $y=\frac{a}{x}$ のグラフが点 $(3,4)$ を通っている。

  このグラフ上の点のうち、$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点は何個あるか求めよ。

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  反比例 $y=\frac{24}{x}$ $(x>0)$ のグラフ上に、$x$ 座標が $2$ である点 $\mathrm{A}$ と、$x$ 座標が $8$ である点 $\mathrm{B}$ をとる。原点を $\mathrm{O}$ とする。

  比例 $y=ax$ のグラフが線分 $\mathrm{AB}$ と交わる点を $\mathrm{P}$ とする。$△\mathrm{OAP}$ と $△\mathrm{OPB}$ の面積の比が $1:2$ となるとき、$a$ の値を求めよ。

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  2 つの反比例 $y=\frac{12}{x}$（$x>0$）と $y=\frac{3}{x}$（$x>0$）のグラフがある。$y=\frac{12}{x}$ のグラフ上に、$x$ 座標が $t$（$t>0$）である点 $\mathrm{A}$ をとる。点 $\mathrm{A}$ を通り $y$ 軸に平行な直線と $y=\frac{3}{x}$ のグラフとの交点を $\mathrm{B}$、点 $\mathrm{A}$ を通り $x$ 軸に平行な直線と $y=\frac{3}{x}$ のグラフとの交点を $\mathrm{C}$ とする。

  $△\mathrm{ABC}$ の面積は $t$ の値によらず一定である。その面積を求めよ。

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  反比例 $y=\frac{a}{x}$ のグラフが点 $\mathrm{A}(2,6)$ を通っている。このグラフ上で $x$ 座標が $6$ である点を $\mathrm{B}$ とし、点 $\mathrm{B}$ から $x$ 軸に垂線をひき、$x$ 軸との交点を $\mathrm{C}$ とする。原点を $\mathrm{O}$ とする。

  比例のグラフ $y=mx$ が四角形 $\mathrm{OCBA}$ の面積を 2 等分するとき、比例定数 $m$ の値を求めなさい。

この技能の次に学べること

• ボイル・シャルルの法則 （高校物理 熱と気体）
• 光子のエネルギーと運動量 （高校物理 原子）
• 地球の歴史を縮めた時間 （高校地学 地層と地球の歴史）
• ウィーンの変位則と表面温度 （高校地学 恒星と宇宙）
• 年周視差と恒星までの距離 （高校地学 太陽系と天体の運動）
• 1 次関数の式の求め方 （中学数学 関数）
• 関数 $y=a{x}^2$ の式と変域 （中学数学 関数）