ウィーンの変位則と表面温度

赤く見えるある恒星のスペクトルを調べたところ、放射エネルギーが最も強い波長 ${\lambda }_{\max }$ は $9.7\times 10^{-7}\mathrm{m}$ であった。恒星の表面温度 $T$〔K〕と ${\lambda }_{\max }$〔m〕の間には、ウィーンの変位則
$${\lambda }_{\max }T=2.9\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$$
が成り立つものとする。この恒星の表面温度は何 K か。有効数字 2 桁で答えよ。

太陽と恒星 S のスペクトルを調べたところ、次の表のようになった。

太陽と恒星 S はどちらも黒体とみなせるものとする。ウィーンの変位則より、表面温度 $T$ と ${\lambda }_{\max }$ の間には ${\lambda }_{\max }T=\text{一定}$ の関係がある。また、シュテファン・ボルツマンの法則より、表面の単位面積から毎秒放射されるエネルギーは $\sigma T^4$（$\sigma$ は定数）であり、半径 $R$ の恒星の光度は $L=4\pi R^2\sigma T^4$ と表される。

恒星 S の半径は太陽の半径の何倍か。整数で答えよ。

同じ散開星団に属する 2 つの恒星 A, B を観測し、次の結果を得た。

この表の見かけの等級は、すべての波長の放射エネルギーをもとにした等級である。星団の大きさは地球から星団までの距離に比べて十分小さいので、A と B の地球からの距離は等しいとみなす。星間物質による吸収は無視し、恒星は黒体とみなして球形とする。

等級が $5$ 小さくなると、見かけの明るさは $100$ 倍になる。また、黒体について次の 2 つの法則が成り立つ。

• ウィーンの変位則：${\lambda }_{\max }T$ は一定（$T$ は表面温度）
• シュテファン・ボルツマンの法則：表面の単位面積から単位時間に放射されるエネルギーは $\sigma T^4$（$\sigma$ は定数）

恒星 B の半径は恒星 A の半径の何倍か。必要なら $\sqrt{10}=3.16$ を用いて、有効数字 2 桁で求めよ。

ある恒星 X を観測したところ、次のことがわかった。

また、太陽の絶対等級は $4.8$ 等、表面温度は $5800$ K である。

恒星や太陽は黒体とみなし、ウィーンの変位則 ${\lambda }_{\max }T=2.9\times 10^{-3}\text{m}\cdot \text{K}$（$T$ は表面温度）が成り立つものとする。恒星の光度 $L$ は、半径を $R$、表面温度を $T$ として $L=4\pi R^2\sigma T^4$（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数）で表される。等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になり、距離 $d$ [pc] の恒星の見かけの等級 $m$ と絶対等級 $M$ の間には $M=m+5-5{\log }_{10}d$ の関係がある。星間物質による光の吸収は無視し、$\sqrt{10}=3.16$ を用いてよい。

恒星 X の半径は太陽の半径の何倍か。有効数字 2 桁で求めよ。