光度・半径・表面温度の関係

ある恒星 X の表面温度は $3000\text{K}$、光度は太陽の $25$ 倍である。太陽の表面温度を $6000\text{K}$ とする。恒星 X と太陽はどちらも黒体とみなせ、半径 $R$、表面温度 $T$ の恒星の光度 $L$ はシュテファン・ボルツマンの法則により $L=4\pi R^2\sigma T^4$（$\sigma$ は定数）で表されるものとする。恒星 X の半径は太陽の半径の何倍か。

同じ星団に属し、地球からの距離が等しいとみなせる 2 つの恒星 A, B がある。恒星 B の有効温度は恒星 A の有効温度のちょうど $\frac{1}{2}$ であり、恒星 B の（全波長で測った）見かけの等級は恒星 A より $5$ 等だけ小さい（明るい）。

恒星はいずれも半径 $R$、有効温度 $T$ の球形の黒体とみなし、光度は $L=4\pi R^2\sigma T^4$（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数）で与えられるとする。また、等級 $m$ と観測される放射流束 $F$ の関係は $m=-2.5{\log }_{10}F+\text{const.}$ とし、星間吸収は無視する。

恒星 B の半径は恒星 A の半径の何倍か。正確な値で求めよ。

ある恒星 S の半径は太陽半径の $2.5$ 倍、有効温度は太陽の有効温度の $2$ 倍である。恒星 S と太陽はともに有効温度の黒体として放射し、光度はシュテファン・ボルツマンの法則で決まるものとする。太陽の絶対等級（全波長で測った等級、以下同じ）を $4.7$ 等とし、絶対等級は天体を距離 $10\text{pc}$ に置いたときの見かけの等級と定義する。また、明るさ（放射流束）が $100$ 倍になると等級は $5$ 小さくなるものとする。星間吸収は無視できる。

地球から見た恒星 S の（全波長で測った）見かけの等級が $9.7$ 等であるとき、地球から恒星 S までの距離は何 $\text{pc}$ か。整数で答えよ。

太陽と恒星 S のスペクトルを調べたところ、次の表のようになった。

太陽と恒星 S はどちらも黒体とみなせるものとする。ウィーンの変位則より、表面温度 $T$ と ${\lambda }_{\max }$ の間には ${\lambda }_{\max }T=\text{一定}$ の関係がある。また、シュテファン・ボルツマンの法則より、表面の単位面積から毎秒放射されるエネルギーは $\sigma T^4$（$\sigma$ は定数）であり、半径 $R$ の恒星の光度は $L=4\pi R^2\sigma T^4$ と表される。

恒星 S の半径は太陽の半径の何倍か。整数で答えよ。

同じ散開星団に属する 2 つの恒星 A, B を観測し、次の結果を得た。

この表の見かけの等級は、すべての波長の放射エネルギーをもとにした等級である。星団の大きさは地球から星団までの距離に比べて十分小さいので、A と B の地球からの距離は等しいとみなす。星間物質による吸収は無視し、恒星は黒体とみなして球形とする。

等級が $5$ 小さくなると、見かけの明るさは $100$ 倍になる。また、黒体について次の 2 つの法則が成り立つ。

• ウィーンの変位則：${\lambda }_{\max }T$ は一定（$T$ は表面温度）
• シュテファン・ボルツマンの法則：表面の単位面積から単位時間に放射されるエネルギーは $\sigma T^4$（$\sigma$ は定数）

恒星 B の半径は恒星 A の半径の何倍か。必要なら $\sqrt{10}=3.16$ を用いて、有効数字 2 桁で求めよ。

ある恒星 X を観測したところ、次のことがわかった。

また、太陽の絶対等級は $4.8$ 等、表面温度は $5800$ K である。

恒星や太陽は黒体とみなし、ウィーンの変位則 ${\lambda }_{\max }T=2.9\times 10^{-3}\text{m}\cdot \text{K}$（$T$ は表面温度）が成り立つものとする。恒星の光度 $L$ は、半径を $R$、表面温度を $T$ として $L=4\pi R^2\sigma T^4$（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数）で表される。等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になり、距離 $d$ [pc] の恒星の見かけの等級 $m$ と絶対等級 $M$ の間には $M=m+5-5{\log }_{10}d$ の関係がある。星間物質による光の吸収は無視し、$\sqrt{10}=3.16$ を用いてよい。

恒星 X の半径は太陽の半径の何倍か。有効数字 2 桁で求めよ。