等級と明るさの比

見かけの等級が $1.5$ 等の恒星 A と、$4.0$ 等の恒星 B がある。等級が $5$ 等小さくなると見かけの明るさは $100$ 倍になるものとする。恒星 A の見かけの明るさは、恒星 B の見かけの明るさの何倍か。

同じ星団に属し、地球からの距離が等しいとみなせる 2 つの恒星 A, B がある。恒星 B の有効温度は恒星 A の有効温度のちょうど $\frac{1}{2}$ であり、恒星 B の（全波長で測った）見かけの等級は恒星 A より $5$ 等だけ小さい（明るい）。

恒星はいずれも半径 $R$、有効温度 $T$ の球形の黒体とみなし、光度は $L=4\pi R^2\sigma T^4$（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数）で与えられるとする。また、等級 $m$ と観測される放射流束 $F$ の関係は $m=-2.5{\log }_{10}F+\text{const.}$ とし、星間吸収は無視する。

恒星 B の半径は恒星 A の半径の何倍か。正確な値で求めよ。

ある恒星 S の半径は太陽半径の $2.5$ 倍、有効温度は太陽の有効温度の $2$ 倍である。恒星 S と太陽はともに有効温度の黒体として放射し、光度はシュテファン・ボルツマンの法則で決まるものとする。太陽の絶対等級（全波長で測った等級、以下同じ）を $4.7$ 等とし、絶対等級は天体を距離 $10\text{pc}$ に置いたときの見かけの等級と定義する。また、明るさ（放射流束）が $100$ 倍になると等級は $5$ 小さくなるものとする。星間吸収は無視できる。

地球から見た恒星 S の（全波長で測った）見かけの等級が $9.7$ 等であるとき、地球から恒星 S までの距離は何 $\text{pc}$ か。整数で答えよ。

ある夜、地上から 2 つの恒星 A, B を観測した。恒星 A の見かけの等級は $1.4$ 等であり、恒星 B の見かけの明るさは恒星 A の $\frac{1}{40}$ 倍であった。

等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になるものとし、${\log }_{10}2=0.30$ を用いてよい。恒星 B の見かけの等級を小数第 1 位まで求めよ。

2 つの恒星 A, B を観測したところ、次の表の結果が得られた。また、2 つの恒星はスペクトル型も光度階級も同じで、絶対等級は等しいことがわかっている。

等級が $5$ 小さくなると見かけの明るさは $100$ 倍になり、見かけの明るさは距離の $2$ 乗に反比例するものとする。また、年周視差が $p{[}^{\prime \prime }]$ の恒星までの距離は $\frac{1}{p}$ pc である。星間物質による光の吸収は無視でき、${\log }_{10}2=0.30$ とする。

恒星 B までの距離は何 pc か。有効数字 2 桁で求めよ。

ある恒星 S を観測し、次の結果を得た。

恒星 S の絶対等級を、小数第 1 位まで求めよ。

ただし、次のことを用いてよい。

• 年周視差が $p{[}^{\prime \prime }]$ の恒星までの距離は $\frac{1}{p}$ pc（パーセク）である。
• 絶対等級は、恒星を $10$ pc の距離に置いたと仮定したときの見かけの等級である。
• 恒星の見かけの明るさは距離の $2$ 乗に反比例する。
• 等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になる。
• ${\log }_{10}2=0.30$ とする。
• 星間物質による光の吸収は無視する。

同じスペクトル型に属する 2 つの主系列星 P, Q を観測し、次の結果を得た。

スペクトル型が同じ主系列星どうしは絶対等級が等しいものとする。恒星 P までの距離は何 pc（パーセク）か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、年周視差が $p{[}^{\prime \prime }]$ の恒星までの距離は $\frac{1}{p}$ pc であり、絶対等級は恒星を $10$ pc の距離に置いたときの見かけの等級である。等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になり、見かけの明るさは距離の 2 乗に反比例する。星間物質による光の吸収は無視し、必要ならば ${\log }_{10}2=0.30$ を用いよ。

ある散開星団を観測した。この星団に含まれる恒星は、次の 2 種類だけであることがわかっている。

星団全体の光をまとめて測ったところ、星団全体の見かけの等級は $9.55$ 等であった。

等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になる。絶対等級は、恒星を地球から $10$ pc の距離に置いたときの見かけの等級であり、見かけの明るさは距離の $2$ 乗に反比例する。星団内の恒星はすべて地球から同じ距離にあるとみなし、星間物質による光の吸収は無視する。また、${\log }_{10}2=0.30$ とする。

この星団までの距離は何 pc か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。

地球から $40$ pc の距離にある食連星を観測した。この食連星は恒星 A と恒星 B からなり、望遠鏡では 2 つの恒星を分離して見ることができない。そのため、2 つの恒星の光を合わせた見かけの等級が観測される。観測結果は次の表のとおりであった。

恒星 B が隠れている間も、恒星 A から届く光の量は変わらないものとする。

等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になる。また、見かけの明るさは距離の $2$ 乗に反比例する。絶対等級は、恒星を $10$ pc の距離に置いたときの見かけの等級である。星間物質による光の吸収は無視し、必要であれば ${\log }_{10}2=0.30$、${\log }_{10}3=0.48$ を用いよ。

恒星 B の絶対等級を、小数第 $2$ 位を四捨五入して小数第 $1$ 位まで求めよ。

同じ散開星団に属する 2 つの恒星 A, B を観測し、次の結果を得た。

この表の見かけの等級は、すべての波長の放射エネルギーをもとにした等級である。星団の大きさは地球から星団までの距離に比べて十分小さいので、A と B の地球からの距離は等しいとみなす。星間物質による吸収は無視し、恒星は黒体とみなして球形とする。

等級が $5$ 小さくなると、見かけの明るさは $100$ 倍になる。また、黒体について次の 2 つの法則が成り立つ。

• ウィーンの変位則：${\lambda }_{\max }T$ は一定（$T$ は表面温度）
• シュテファン・ボルツマンの法則：表面の単位面積から単位時間に放射されるエネルギーは $\sigma T^4$（$\sigma$ は定数）

恒星 B の半径は恒星 A の半径の何倍か。必要なら $\sqrt{10}=3.16$ を用いて、有効数字 2 桁で求めよ。

2 つの球形の恒星 A, B からなる食連星がある。恒星 B の半径は恒星 A の半径より小さい。軌道面は視線方向を含み、食の間、地球から見た B の円板は A の円板の内側に完全に入るか、A の円板の後ろに完全に隠れるかのどちらかの状態を一定時間保つ。

• B が A の手前にあり、B の円板全体が A の円板の内側に入っている間、連星系の（全波長で測った）見かけの等級は、食のないときより $a$ 等大きい。
• B が A の後ろに完全に隠れている間、連星系の見かけの等級は、食のないときより $b$ 等大きい。

各恒星は表面全体が一様な明るさで輝く（周縁減光はない）有効温度 $T_A$, $T_B$ の黒体とみなし、単位面積あたりの放射はシュテファン・ボルツマンの法則に従うとする。恒星どうしの照り返しや星間吸収は無視し、恒星の見かけの等級 $m$ と地球で受けるエネルギー流束 $F$ の間には $m=-2.5{\log }_{10}F+(\text{定数})$ の関係があるとする。$a>0$, $b>0$ である。

有効温度の比 $\frac{T_B}{T_A}$ を $a$, $b$ を用いて表せ。

ある恒星 X を観測したところ、次のことがわかった。

また、太陽の絶対等級は $4.8$ 等、表面温度は $5800$ K である。

恒星や太陽は黒体とみなし、ウィーンの変位則 ${\lambda }_{\max }T=2.9\times 10^{-3}\text{m}\cdot \text{K}$（$T$ は表面温度）が成り立つものとする。恒星の光度 $L$ は、半径を $R$、表面温度を $T$ として $L=4\pi R^2\sigma T^4$（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数）で表される。等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になり、距離 $d$ [pc] の恒星の見かけの等級 $m$ と絶対等級 $M$ の間には $M=m+5-5{\log }_{10}d$ の関係がある。星間物質による光の吸収は無視し、$\sqrt{10}=3.16$ を用いてよい。

恒星 X の半径は太陽の半径の何倍か。有効数字 2 桁で求めよ。