複数の恒星を合わせた等級

複数の恒星の明るさを足し合わせて、連星や星団全体の等級を求められ、逆に全体の等級から個々の恒星の数や等級を求められる

前提

等級と明るさの比（高校地学恒星と宇宙）

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算数中学高校大学大学院

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対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
等級と明るさの比（高校地学恒星と宇宙）

説明

夜空で 1 つの点に見える連星や、望遠鏡で分解できない星団の明るさは、それぞれの恒星の明るさの合計になります。この技能では、個々の恒星の等級から全体の等級を求めたり、逆に全体の等級から恒星の数や個々の等級を求めたりします。連星・星団・銀河の明るさを考える場面で使います。

なぜそうしてよいのか

等級は明るさそのものではなく、明るさの比を対数で表した目盛りです。等級 $m_{1}$ の星と等級 $m_{2}$ の星の明るさの比は $\frac{l _{1}}{l _{2}} = 1 0^{0.4 (m_{2} - m_{1})}$ で、等級が小さいほど明るくなります。光は重ね合わせると明るさ（単位時間に届く光のエネルギー）が足し算になりますが、等級は対数なので、等級どうしをそのまま足すことはできません。

そこで、いったん等級を「基準の星の何倍の明るさか」に直し、明るさの段階で足し合わせてから、もう一度等級に戻します。たとえば同じ等級 $m$ の星が $N$ 個集まると、全体の明るさは 1 個の $N$ 倍です。明るさが $N$ 倍になると、 $\frac{l _{全体}}{l _{1}} = 1 0^{0.4Δ m} = N$ より等級差は $Δ m = 2.5 lo g_{10} N$ となり、全体の等級は $m - 2.5 lo g_{10} N$ と、1 個のときより $2.5 lo g_{10} N$ だけ小さく（明るく）なります。

逆向きに、全体の等級と 1 個の等級が分かっていれば、その差 $Δ m$ から $N = 1 0^{0.4Δ m}$ として恒星の数を求められます。

手順

基準にする恒星（または基準の等級 $m_{0}$ ）を決め、各恒星の明るさを基準の何倍かで表す: $l_{i} = 1 0^{0.4 (m_{0} - m_{i})} l_{0}$
明るさを足し合わせて全体の明るさを求める: $l_{全体} = l_{1} + l_{2} + \dots$ （同じ等級の星が $N$ 個なら $N l_{1}$ ）
全体の明るさと基準の明るさの比 $\frac{l _{全体}}{l _{0}}$ を求める
比を等級差に直す: $Δ m = 2.5 lo g_{10} \frac{l _{全体}}{l _{0}}$ とし、全体の等級は $m_{0} - Δ m$ （明るくなるので等級は小さくなる）
逆に恒星の数や個々の等級を求めるときは、等級差 $Δ m$ から明るさの比 $1 0^{0.4Δ m}$ を求め、明るさの関係式に当てはめる

例題

3.00 等級の恒星 2 個が、肉眼では 1 つの星に見える連星になっている。この連星全体の等級を求めよ。ただし $lo g_{10} 2 = 0.30$ とし、答えは小数第 2 位まで求めよ。

例題の解答

手順 1: 基準を 1 個の恒星（3.00 等級）にとり、その明るさを $l$ とする。2 個とも同じ等級なので、どちらも明るさは $l$ である。

手順 2: 全体の明るさは $l + l = 2 l$ 。

手順 3: 全体の明るさと基準の明るさの比は $\frac{2 l}{l} = 2$ 。

手順 4: 等級差は $Δ m = 2.5 lo g_{10} 2 = 2.5 \times 0.30 = 0.75$ 。全体は 1 個より明るいので、等級は $3.00 - 0.75 = 2.25$ となる。

したがって連星全体の等級は $2.25$ 等級である。

答え: $2.25$

よくある誤り

等級をそのまま足してしまう誤り（3 等級 + 3 等級 = 6 等級とする）。正しくは明るさを足して $2 l$ とし、 $3.00 - 2.5 lo g_{10} 2 = 2.25$ 等級とする。
明るさが増えたのに等級を大きくしてしまう誤り（ $3.00 + 0.75 = 3.75$ 等級とする）。正しくは明るいほど等級は小さいので $3.00 - 0.75 = 2.25$ 等級。
等級を平均してしまう誤り（2 等級と 4 等級の連星を 3 等級とする）。正しくは明るさ $1 0^{0.4 \times 2} l_{4} + l_{4}$ のように明るさで足してから等級に直す。全体は明るいほうの星（2 等級）より必ず明るくなる。
恒星の数を求めるとき、等級差をそのまま個数としてしまう誤り（全体が 1 個より 5 等級明るいので 5 個とする）。正しくは $N = 1 0^{0.4 \times 5} = 100$ 個。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある星団は、見かけの等級がどれも $8$ 等の恒星 $100$ 個だけからなる。この星団全体を $1$ つの天体として見たときの見かけの等級は何等か。ただし、星団全体の見かけの明るさは、個々の恒星の見かけの明るさの和に等しいものとし、等級が $5$ 等小さくなると見かけの明るさは $100$ 倍になるものとする。

この技能を使う問題

種類	絶対等級	個数
恒星 X	$4.8$ 等	$1000$ 個
恒星 Y	$- 0.2$ 等	$10$ 個

観測したとき	見かけの等級
食が起きていないとき（A と B の光がともに届く）	$4.00$ 等
恒星 B が恒星 A の背後に完全に隠れたとき	$4.45$ 等

この技能の次に学べること

食連星の光度変化（大学物理宇宙物理・宇宙論）