食連星の光度変化

主極小・副極小で隠れる円板の面積と各星の表面輝度 $σ T^{4}$ から、食のときの等級の増加 $Δ m = - 2.5 lo g_{10} (F_{食} / F_{0})$ を求め、逆に等級差から半径比や有効温度の比を求められる

前提

光度・半径・表面温度の関係（高校地学恒星と宇宙）
複数の恒星を合わせた等級（高校地学恒星と宇宙）

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算数中学高校大学大学院

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光度・半径・表面温度の関係（高校地学恒星と宇宙）
複数の恒星を合わせた等級（高校地学恒星と宇宙）

説明

2 つの恒星が互いのまわりを回り、地球から見て交互に相手を隠す連星（食連星）では、隠れるたびに明るさが周期的に下がります。この技能では、隠される円板の面積と各星の表面の明るさ（表面輝度 $σ T^{4}$ ）から、食のときに等級がどれだけ増えるか（暗くなるか）を求められるようになります。逆に、観測された主極小・副極小の深さから 2 つの星の半径比や有効温度の比を求めることもできます。

なぜそうしてよいのか

恒星を一様な明るさの円板とみなします（周辺ほど暗く見える効果は無視します）。半径 $R$ 、表面温度 $T$ の星の表面は単位面積あたり $σ T^{4}$ の割合で放射するので、距離 $d$ の地球で受ける放射束は $\frac{4 π R ^{2} σ T ^{4}}{4 π d ^{2}} = \frac{π R ^{2} \cdot σ T ^{4}}{π d ^{2}}$ です。つまり観測される明るさは「見かけの円板の面積 $π R^{2}$ 」×「表面輝度 $σ T^{4}$ 」に比例します。2 つの星は同じ距離にあるので、比だけを考えるなら共通の因子 $π / (π d^{2})$ などは落として、星 1・星 2 の明るさを $R_{1}^{2} T_{1}^{4}$ 、 $R_{2}^{2} T_{2}^{4}$ に比例するとしてよく、食の外の全体の明るさは $F_{0} \propto R_{1}^{2} T_{1}^{4} + R_{2}^{2} T_{2}^{4}$ です。

食のときは、手前の星に隠された部分の円板の光だけが届かなくなります。隠された面積を $A$ 、隠された側の星の温度を $T$ とすると、失われる明るさは $A σ T^{4}$ に比例し、 $F_{食} = F_{0} - (失われた分)$ です。複数の星の明るさを足して等級に直したのと同じく、等級の増加は
$Δ m = m_{食} - m_{0} = - 2.5 lo g_{10} \frac{F _{食}}{F _{0}}$
で、暗くなるので $Δ m > 0$ です。

軌道を真横から見ていて（食の中心で 2 つの円板の中心がそろう）、小さい星（半径 $R_{2}$ ）と大きい星（半径 $R_{1}$ ）の場合、小さい星が大きい星の前を通るときも後ろに隠れるときも、隠れる面積は同じ $π R_{2}^{2}$ です。違うのは隠される側の表面輝度だけなので、2 つの食で失われる明るさの比は $T_{1}^{4} : T_{2}^{4}$ になります。そのため、表面温度の高い星が隠されるほうが深い極小（主極小）、低い星が隠されるほうが浅い極小（副極小）になり、深さの比から温度比がわかります。

手順

2 つの星の明るさを $F_{1} \propto R_{1}^{2} T_{1}^{4}$ 、 $F_{2} \propto R_{2}^{2} T_{2}^{4}$ と比で表し、食の外の明るさ $F_{0} = F_{1} + F_{2}$ を求める
その食で隠される星と隠される面積を決める（真横から見た中心食なら、小さい星が隠れるときは小さい星全体、小さい星が前を通るときは大きい星のうち $π R_{2}^{2}$ の部分）
失われる明るさ（隠れた面積 × 隠された星の $T^{4}$ に比例）を引いて $F_{食}$ を求める
$Δ m = - 2.5 lo g_{10} \frac{F _{食}}{F _{0}} = 2.5 lo g_{10} \frac{F _{0}}{F _{食}}$ を計算する
逆に $Δ m$ が与えられたら $\frac{F _{食}}{F _{0}} = 1 0^{- 0.4Δ m}$ に直し、半径比や温度比についての式を解く

例題

食連星をつくる星 A（半径 $R_{A}$ 、表面温度 $T_{A}$ ）と星 B（半径 $R_{B}$ 、表面温度 $T_{B}$ ）があり、 $R_{A} = 2 R_{B}$ 、 $T_{B} = 2 T_{A}$ である。軌道を真横から見ていて、星 B が星 A の真後ろに入ると星 B は完全に隠れる。各星は一様な明るさの円板とみなす。星 B が完全に隠れたときの等級の増加 $Δ m$ を求めよ。ただし $lo g_{10} 2 = 0.301$ とし、小数第 2 位まで求めよ。

例題の解答

手順 1: $F_{A} \propto R_{A}^{2} T_{A}^{4} = 4 R_{B}^{2} T_{A}^{4}$ 、 $F_{B} \propto R_{B}^{2} T_{B}^{4} = R_{B}^{2} \cdot 4 T_{A}^{4} = 4 R_{B}^{2} T_{A}^{4}$ 。2 つの星はちょうど同じ明るさで、 $F_{0} \propto 8 R_{B}^{2} T_{A}^{4}$ 。

手順 2: この食では星 B の円板全体（面積 $π R_{B}^{2}$ ）が隠れる。

手順 3: 失われるのは星 B の光全部なので $F_{食} = F_{A} \propto 4 R_{B}^{2} T_{A}^{4}$ 、 $\frac{F _{食}}{F _{0}} = \frac{1}{2}$ 。

手順 4: $Δ m = 2.5 lo g_{10} 2 = 2.5 \times 0.301 = 0.7525 \approx 0.75$

（参考）反対側で星 B が星 A の前を通るときは、星 A のうち面積 $π R_{B}^{2}$ が隠れ、失われる明るさは $R_{B}^{2} T_{A}^{4}$ に比例するので $\frac{F _{食}}{F _{0}} = \frac{7}{8}$ となり浅い。表面温度の高い星 B が隠れる今回の食が主極小である。

答え: $0.75$

よくある誤り

失われる明るさを隠れた面積だけで決め、表面輝度の違いを無視してしまう誤り（例題で、どちらの食も面積 $π R_{B}^{2}$ が隠れるから深さは同じとする）。正しくは失われる明るさは「隠れた面積 × 隠された星の $σ T^{4}$ 」で、例題では $R_{B}^{2} T_{B}^{4} : R_{B}^{2} T_{A}^{4} = 4 : 1$
星の明るさを $R^{2} T^{4}$ ではなく、温度だけ・半径だけ、あるいは $R T^{4}$ や $R^{2} T^{2}$ に比例させてしまう誤り。見かけの円板の面積 $π R^{2}$ と表面輝度 $σ T^{4}$ の積なので、正しくは $F \propto R^{2} T^{4}$
$Δ m$ の比を逆にして $Δ m = - 2.5 lo g_{10} \frac{F _{0}}{F _{食}}$ とし負の値（例題なら $- 0.75$ ）を出してしまう誤り。食で暗くなると等級は大きくなるので、正しくは $Δ m = - 2.5 lo g_{10} \frac{F _{食}}{F _{0}} = 2.5 lo g_{10} 2 > 0$
大きい星が小さい星の前を通るとき、大きい星の面積 $π R_{1}^{2}$ 分の光が失われるとしてしまう誤り。後ろの星は自分の円板以上には隠れないので、失われるのは小さい星の円板 $π R_{2}^{2}$ 分（中心食で完全に隠れる場合）で、その光全部

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
2 つの恒星 A, B からなる食連星がある。A の半径は $R_{A} = 4 R$ 、表面温度は $T_{A} = T$ 、B の半径は $R_{B} = 3 R$ 、表面温度は $T_{B} = 2 T$ である（ $R, T$ は正の定数）。軌道面は視線方向を含み、B が A の真後ろに入ると、B の円板は A に完全に隠される。
各星は一様な明るさの円板に見えるものとし、地球に届く各星からの放射流束は、見かけの円板の面積と表面輝度 $σ T^{4}$ （ $σ$ はシュテファン・ボルツマン定数）の積に比例するとする。
食が起きていないときの放射流束を $F_{0}$ 、B が A に完全に隠されているときの放射流束を $F_{食}$ とする。このときの等級の増加
$Δ m = - 2.5 lo g_{10} \frac{F _{食}}{F _{0}}$
を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の標準レベル）
2 つの球形の恒星 A, B からなる食連星がある。恒星 B の半径は恒星 A の半径より小さい。軌道面は視線方向を含み、食の間、地球から見た B の円板は A の円板の内側に完全に入るか、A の円板の後ろに完全に隠れるかのどちらかの状態を一定時間保つ。
- B が A の手前にあり、B の円板全体が A の円板の内側に入っている間、連星系の（全波長で測った）見かけの等級は、食のないときより $a$ 等大きい。
- B が A の後ろに完全に隠れている間、連星系の見かけの等級は、食のないときより $b$ 等大きい。
各恒星は表面全体が一様な明るさで輝く（周縁減光はない）有効温度 $T_{A}$ , $T_{B}$ の黒体とみなし、単位面積あたりの放射はシュテファン・ボルツマンの法則に従うとする。恒星どうしの照り返しや星間吸収は無視し、恒星の見かけの等級 $m$ と地球で受けるエネルギー流束 $F$ の間には $m = - 2.5 lo g_{10} F + (定数)$ の関係があるとする。 $a > 0$ , $b > 0$ である。
有効温度の比 $\frac{T _{B}}{T _{A}}$ を $a$ , $b$ を用いて表せ。