宇宙物理・宇宙論の問題

同じ星団に属し、地球からの距離が等しいとみなせる 2 つの恒星 A, B がある。恒星 B の有効温度は恒星 A の有効温度のちょうど $\frac{1}{2}$ であり、恒星 B の（全波長で測った）見かけの等級は恒星 A より $5$ 等だけ小さい（明るい）。

恒星はいずれも半径 $R$、有効温度 $T$ の球形の黒体とみなし、光度は $L=4\pi R^2\sigma T^4$（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数）で与えられるとする。また、等級 $m$ と観測される放射流束 $F$ の関係は $m=-2.5{\log }_{10}F+\text{const.}$ とし、星間吸収は無視する。

恒星 B の半径は恒星 A の半径の何倍か。正確な値で求めよ。

質量 $M$ の球対称で回転していないブラックホールがある。万有引力定数を $G$、真空中の光速を $c$ とする。ブラックホールの中心から距離 $r=\frac{8GM}{3c^2}$ の位置に静止している光源が光を出し、その光を十分遠方（無限遠とみなせる）に静止している観測者が受け取る。シュヴァルツシルト半径を $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ とし、静止した光源からの光の重力赤方偏移 $z$ は
$$1+z={\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1/2}$$
で与えられるものとする。このときの赤方偏移 $z$ の値を求めよ。

ある慣性系 $S$ では、宇宙背景放射が温度 $T_0$ の等方的な黒体放射になっている。この系 $S$ に対して速さ $v=\frac{3}{5}c$（$c$ は真空中の光速）で等速直線運動する観測者を考える。観測者の静止系で、観測者の進行方向と観測者が見る向き（視線の向き）とのなす角を ${\theta }^{\prime }$ とすると、その向きに見える放射も黒体放射であり、その温度は
$$T^{\prime }({\theta }^{\prime })=\frac{T_0\sqrt{1-{\beta }^2}}{1-\beta \cos {\theta }^{\prime }},\beta =\frac{v}{c}$$
で与えられる。観測者が真正面（${\theta }^{\prime }=0$）に見る放射の温度は、真後ろ（${\theta }^{\prime }=\pi$）に見る放射の温度の何倍か。正確な値で求めよ。

温度 $T$ の黒体放射（宇宙マイクロ波背景放射など）を考える。プランク定数を $h$、ボルツマン定数を $k_B$ とし、$x=\frac{h\nu }{k_{B}T}$ と置くと、振動数あたりのエネルギー密度は
$$u_{\nu }d\nu \propto \frac{x^3}{e^x-1}dx$$
と表される。また ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ である。

振動数 $0$ から ${\nu }_1$ までの低振動数の帯域を考え、$x_1=\frac{h{\nu }_1}{k_{B}T}=\frac{1}{10}$ とする。この帯域の放射が担うエネルギーが、放射の全エネルギーに占める割合 $f$ を、$x\ll 1$ で $\frac{1}{e^x-1}\approx \frac{1}{x}$ と近似した最低次の近似で求めよ。答えは $\pi$ を含む正確な形で書け。

恒星 A, B からなる実視連星がある。B に対する A の相対軌道は楕円で、その長半径は $a=20\text{au}$、公転周期は $P=40$ 年である。また、2 つの星の共通重心のまわりの運動を観測したところ、A の速さ $v_{\mathrm{A}}$ と B の速さ $v_{\mathrm{B}}$ の比はつねに $v_{\mathrm{A}}:v_{\mathrm{B}}=2:3$ であった。

ケプラーの第 3 法則 $\frac{a^3}{P^2}=\frac{G(m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}})}{4{\pi }^2}$（$G$ は万有引力定数）は、長さを au、時間を年、質量を太陽質量 $M_{\odot }$ で測ると
$$\frac{a^3}{P^2}=m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}$$
と書ける。

A の質量 $m_{\mathrm{A}}$ と B の質量 $m_{\mathrm{B}}$ は、それぞれ太陽質量の何倍か。$(m_{\mathrm{A}},m_{\mathrm{B}})$ の組で答えよ。