宇宙物理・宇宙論の問題

膨張する宇宙の中で、宇宙とともに膨張する（共動の）領域に閉じこめられた光子気体を考える。この領域の体積はスケール因子 $a$ を用いて $V\propto a^3$ と変化し、光子気体は外部と熱のやりとりをせずに準静的に（断熱的に）膨張するとする。光子気体のエネルギー密度・圧力・エントロピーは、温度 $T$ と体積 $V$ を用いて
$$u=\frac{4\sigma }{c}{T}^4,p=\frac{u}{3},S=\frac{4}{3}\frac{u}{T}V$$
で与えられる（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数、$c$ は真空中の光速）。

はじめ、この領域の体積は $V_1$、光子気体の温度は $T_1$ であった。その後スケール因子が $2$ 倍になるまで宇宙が膨張した。この間に、領域内の光子気体が外部にした仕事 $W=\int pdV$ を $\sigma$, $c$, $T_1$, $V_1$ を用いて表せ。

質量 $M$ の球対称で回転していないブラックホールがある。万有引力定数を $G$、真空中の光速を $c$ とする。ブラックホールの中心から距離 $r=\frac{8GM}{3c^2}$ の位置に静止している光源が光を出し、その光を十分遠方（無限遠とみなせる）に静止している観測者が受け取る。シュヴァルツシルト半径を $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ とし、静止した光源からの光の重力赤方偏移 $z$ は
$$1+z={\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1/2}$$
で与えられるものとする。このときの赤方偏移 $z$ の値を求めよ。

2 つの恒星 A, B からなる食連星がある。A の半径は $R_{\mathrm{A}}=4R$、表面温度は $T_{\mathrm{A}}=T$、B の半径は $R_{\mathrm{B}}=3R$、表面温度は $T_{\mathrm{B}}=2T$ である（$R,T$ は正の定数）。軌道面は視線方向を含み、B が A の真後ろに入ると、B の円板は A に完全に隠される。

各星は一様な明るさの円板に見えるものとし、地球に届く各星からの放射流束は、見かけの円板の面積と表面輝度 $\sigma T^4$（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数）の積に比例するとする。

食が起きていないときの放射流束を $F_0$、B が A に完全に隠されているときの放射流束を $F_{\text{食}}$ とする。このときの等級の増加
$$\Delta m=-2.5{\log }_{10}\frac{F_{\text{食}}}{F_0}$$
を求めよ。

温度 $T$ の黒体放射（宇宙マイクロ波背景放射など）を考える。プランク定数を $h$、ボルツマン定数を $k_B$ とし、$x=\frac{h\nu }{k_{B}T}$ と置くと、振動数あたりのエネルギー密度は
$$u_{\nu }d\nu \propto \frac{x^3}{e^x-1}dx$$
と表される。また ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ である。

振動数 $0$ から ${\nu }_1$ までの低振動数の帯域を考え、$x_1=\frac{h{\nu }_1}{k_{B}T}=\frac{1}{10}$ とする。この帯域の放射が担うエネルギーが、放射の全エネルギーに占める割合 $f$ を、$x\ll 1$ で $\frac{1}{e^x-1}\approx \frac{1}{x}$ と近似した最低次の近似で求めよ。答えは $\pi$ を含む正確な形で書け。

一様等方に膨張する宇宙で、遠方の銀河から放出された水素のライマン $\alpha$ 線（放出時の波長 $121.6\text{nm}$）が、現在の地球で波長 $486.4\text{nm}$ として観測された。観測された波長の伸びはすべて宇宙論的赤方偏移によるもの（銀河の固有運動や重力による偏移はない）とし、赤方偏移 $z$ は観測波長 ${\lambda }_{\text{obs}}$ と放出時の波長 ${\lambda }_{\text{emit}}$ により $1+z=\frac{{\lambda }_{\text{obs}}}{{\lambda }_{\text{emit}}}$ で定める。スケール因子を $a$（現在の値を $a_0$）とすると、$1+z=\frac{a_0}{a}$ が成り立つ。ここで $a$ は光が放出されたときのスケール因子である。また、宇宙の物質（非相対論的な物質）の平均密度 $\rho$ は $\rho \propto a^{-3}$ にしたがって変化するとする。この光が放出されたときの宇宙の物質の平均密度は、現在の物質の平均密度の何倍か。正確な値で求めよ。