速さと平均の速さ

水平な机の上で台車を動かしたところ、台車は点 A から点 B までの $36\mathrm{cm}$ を $0.4$ 秒かかって移動した。点 A から点 B までの台車の平均の速さは何 cm/s ですか。

1 秒間に 60 回打点する記録タイマーに紙テープを通し、紙テープを台車につけた。水平な机の上で、台車を一定の速さ $30\text{cm/s}$ で一直線に動かしながら打点を記録した。紙テープに記録された、となりあう 2 つの打点の間の長さは何 cm ですか。

1 秒間に 60 回打点する記録タイマーに紙テープを通し、紙テープを台車につけた。記録タイマーで打点を始めてから、水平な机の上で台車を手で押し出したところ、台車は机の上を一直線に進み、しだいにおそくなった。

記録された紙テープを、手が台車からはなれたあとのはっきりした打点から、となりあう打点の間隔 6 つ分ごとに区切って切り取った。切り取った紙テープを記録された順に A, B, C, D, E, F とすると、それぞれの長さは次のようになった。

• A: $7.2\text{cm}$　B: $6.0\text{cm}$　C: $4.8\text{cm}$　D: $3.6\text{cm}$　E: $2.4\text{cm}$　F: $1.2\text{cm}$

テープ C の最初の打点が記録されてから、テープ F の最後の打点が記録されるまでの、台車の平均の速さは何 cm/s ですか。

1 秒間に打点する回数がわからない記録タイマーがある。この記録タイマーに紙テープを通して台車につけ、水平な机の上で、台車を一定の速さ $60\text{cm/s}$ で一直線に動かした（速さは別の装置で確かめた）。紙テープに記録された打点のうち、ある打点 P と、P から数えて打点の間隔 10 個分あとの打点 Q の間の長さをはかったところ、$12\text{cm}$ であった。この記録タイマーは 1 秒間に何回打点しますか。ただし、記録タイマーは一定の時間間隔で打点するものとします。

南北にのびた温暖前線が、真東に向かって一定の速さ $25\text{km/h}$ で進んでいる。地点 P は温暖前線より東にあり、9 時の時点で、地上の温暖前線は地点 P の真西 $200\text{km}$ の位置にあった。

温暖前線の前線面（暖気と寒気の境の面）は、地上の前線から東へ向かってゆるやかに高くなっており、地上の前線から東へ水平に $100\text{km}$ はなれるごとに、前線面の高さが $1\text{km}$ ずつ高くなっているものとする。また、地点 P の真上の前線面の高さが $1.2\text{km}$ 以下になると、地点 P で雨が降り始めるものとする。前線面の形と前線の速さは変わらないものとする。

地点 P で雨が降り始めるのは、9 時から何分後ですか。

ある日、地点 P では 9 時に気温が急に下がり、風向が南寄りから北寄りに変わった。これは、南北にのびた寒冷前線が 9 時に地点 P を通過したためである。この寒冷前線は、真東に向かって一定の速さ $36\text{km/h}$ で進んでいた。

寒冷前線の前線面（寒気と暖気の境の面）は、地上の前線から西へ向かって高くなっており、地上の前線から西へ水平に $50\text{km}$ はなれるごとに、前線面の高さが $1\text{km}$ ずつ高くなっているものとする。前線面より下は寒気、上は暖気である。前線面の形と前線の速さは変わらないものとする。

この日の 12 時 40 分に、地点 P の真上にある寒気の層の厚さ（地面から前線面までの高さ）は何 m ですか。

ある日、南北にのびた前線が、真東に向かって一定の速さで進んでいた。地点 A と地点 B は東西方向の一直線上にあり、地点 B は地点 A の真東 $120\text{km}$ の位置にある。どちらの地点も標高は $0\text{m}$ である。

地点 A では 9 時に、地点 B では 13 時に、それぞれ気温が急に下がり、風向が南寄りから北寄りに変わった。どちらもこの前線が通過したためである。

この前線の前線面は平面で、地上の前線の位置から西へ水平に $60\text{km}$ はなれるごとに、高さが $1\text{km}$ ずつ高くなっているものとする。前線の形・速さ・前線面の傾きは、この日のうちは変わらないものとする。

この日の 16 時に、地点 A の真上にある前線面の高さは何 m ですか。

ある人について、刺激を受けてから反応するまでの時間を調べる実験を行った。

この人は右手の人さし指をボタンの上に置き、目を閉じて座った。別の人が、この人の皮膚を細い棒で軽くふれた。この人は、ふれられたと感じたらすぐに右手の人さし指でボタンをおした。ふれてからボタンがおされるまでの時間を、ふれる場所を変えて 5 回ずつはかったところ、結果は次のようになった。

• 右肩の皮膚にふれたとき：$0.18$ 秒，$0.20$ 秒，$0.19$ 秒，$0.19$ 秒，$0.19$ 秒
• 右手の指先の皮膚にふれたとき：$0.21$ 秒，$0.20$ 秒，$0.21$ 秒，$0.20$ 秒，$0.21$ 秒

指先で受けとった刺激の信号は、感覚神経を通って右肩の位置を通り、その先は右肩にふれたときと同じ道すじで伝わるものとする。指先から右肩までの感覚神経の長さは $0.80\text{m}$ である。

次に、この人の右手の指先が熱いものにふれ、意識とは関係なく手を引っこめる反射が起こった場合を考える。このとき信号は、指先から感覚神経を通ってせきずいまで $1.0\text{m}$ 伝わり、せきずいで $0.008$ 秒かけて命令の信号に切りかえられ、せきずいから運動神経を通って腕の筋肉まで $0.60\text{m}$ 伝わる。

感覚神経と運動神経で信号が伝わる速さはどちらも同じで一定であり、実験の 5 回の平均から求められる速さに等しいものとする。指先が熱いものにふれてから、信号が腕の筋肉に届くまでの時間は何秒ですか。

ある地域の地下は、P 波の速さ $V_1$ の一様な地殻と、その下の P 波の速さ $V_2$（$V_2>V_1$）の一様なマントル最上部からできている。両者の境界であるモホロビチッチ不連続面（モホ面）は水平である。

この地域で、ごく浅い地震が起こった。震源は地表にあるとみなせる。震源から一直線上に並んだ観測点で、P 波の初動が届くまでの時間（走時）を測ったところ、次の表の結果を得た。

震央距離 $90\mathrm{km}$ までの 3 点では、地殻内を直接伝わった P 波（直接波）が最初に届いた。震央距離 $240\mathrm{km}$ 以上の 3 点では、モホ面に沿ってマントル最上部を伝わった P 波（屈折波）が最初に届いた。走時曲線は、どちらの波についても直線になる。

直接波と屈折波の走時曲線が交わる点の震央距離を $x$ とする。このとき、モホ面の深さ $h$ との間には
$$h=\frac{x}{2}\sqrt{\frac{V_2-V_1}{V_2+V_1}}$$
の関係がある。この地域のモホ面の深さは何 $\mathrm{km}$ か。有効数字 2 桁で答えよ。

1 秒間に 60 回打点する記録タイマーを使って、台車の運動を調べた。なめらかな斜面の上に台車を置き、台車に紙テープをつけて、記録タイマーの打点を始めると同時に台車から静かに手をはなした。台車は斜面を下り、斜面の下でなめらかにつながった水平な床の上を進んだ。斜面や床と台車の間の摩擦、紙テープと記録タイマーの間の摩擦、空気の抵抗は考えないものとする。

記録された紙テープを、打点を始めた点から 6 打点ごとに切り、順に テープ 1、テープ 2、テープ 3、… とした。すると、テープ 1 の長さは 0.6 cm、テープ 2 の長さは 1.8 cm で、台車が斜面を下っている間は、テープの長さが 1 本ごとに同じ長さずつ長くなっていた。台車はテープ 5 を記録し終えた瞬間に斜面を下り終えて水平な床に入り、それ以降のテープの長さはどれも 6.0 cm であった。

台車が動き始めてから、それまでの平均の速さがちょうど 40 cm/s になるのは、動き始めてから何秒後ですか。

水平な机の上に置いた台車に糸をつけ、糸を机の端の滑車にかけて、糸の先におもりをつるした。台車には紙テープをつけ、1 秒間に 50 回打点する記録タイマーに通した。記録タイマーで打点を始めてから台車を動かしたところ、台車は机の上を一直線に動いた。

記録された紙テープを、はっきり打点が読みとれる点から 5 打点ごと（打点の間隔 5 つ分ごと）に切り、順に 1 本目、2 本目、…とした。1 本目から 4 本目のテープの長さは、順に $2.0\text{cm}$、$3.6\text{cm}$、$5.2\text{cm}$、$6.8\text{cm}$ であった。また、1 本目から 8 本目までは、どのテープも 1 本前のテープより同じ長さだけ長くなっていた。

1 本目のテープの始めの打点が打たれてから、8 本目のテープの終わりの打点が打たれるまでの、台車の平均の速さは何 cm/s ですか。

ある日、温帯低気圧にともなう温暖前線と寒冷前線が、どちらも南北にのびた直線の形をしたまま、それぞれ一定の速さで西から東へ進んでいた。温暖前線は寒冷前線より東側にあり、2 つの前線にはさまれた地域は暖気におおわれていた。

地点 X と、地点 X の真東 $240\text{km}$ にある地点 Y で観測したところ、次のことがわかった。

• 温暖前線は、6 時に地点 X を通過し、14 時に地点 Y を通過した。
• 6 時に、寒冷前線は地点 X の真西 $300\text{km}$ の位置にあった。
• 寒冷前線は、12 時に地点 X を通過した。

地点 Y が 2 つの前線にはさまれた暖気におおわれていた時間は何分間ですか。ただし、前線はその間に重なることはなく、前線の形と進む向き・速さは変わらないものとする。

なめらかな斜面と、その下になめらかにつながった水平な面からなるレールがある。斜面の上の点 P に台車を置き、台車に紙テープをつけて、1 秒間に 60 回打点する記録タイマーに通した。打点を始めると同時に台車から静かに手をはなしたところ、台車は斜面を下り、水平な面に進んだ。水平な面の上には、点 P からレールにそって $181.5\text{cm}$ の位置に車止めがあり、台車はそこで止まった。

記録された紙テープを、打点を始めた点から 6 打点間隔ごとに切り、切った順に 1 本目、2 本目、…とした。1 本目から 8 本目までのテープの長さは、順に次のようであった。

$2.0\text{cm}$, $6.0\text{cm}$, $10.0\text{cm}$, $14.0\text{cm}$, $18.0\text{cm}$, $21.5\text{cm}$, $22.0\text{cm}$, $22.0\text{cm}$

台車は 6 本目のテープを記録している途中で水平な面に入り、その後は車止めに当たるまで一定の速さで一直線に進んだ。また、8 本目より後のテープは、車止めに当たる直前の最後の 1 本を除いて、どれも長さが $22.0\text{cm}$ であった。

台車が手をはなされてから車止めに当たるまでの平均の速さは何 cm/s ですか。ただし、レールと台車のあいだの摩擦や空気の抵抗、紙テープと記録タイマーのあいだの摩擦は考えないものとする。

モーターを電源装置につなぎ、モーターで糸を巻き取って物体を引き上げる実験を行った。質量 $100\text{g}$ の物体にはたらく重力の大きさを $1\text{N}$ とし、糸の質量、糸と斜面の間の摩擦、空気の抵抗は考えないものとする。

【実験1】モーターに $5.0\text{V}$ の電圧を加えたところ、$0.40\text{A}$ の電流が流れた。このとき、モーターで質量 $300\text{g}$ の物体を真上に一定の速さで引き上げたところ、$1.2\text{m}$ 引き上げるのに $6.0$ 秒かかった。

【実験2】水平な床の上に、なめらかな斜面 AB をつくった。点 A は斜面の下端で床の上にあり、点 B は斜面の上端、点 C は点 B の真下にある床の上の点である。斜面 AB の長さは $2.0\text{m}$、高さ BC は $0.50\text{m}$ である。点 B の位置にモーターを固定し、モーターから出した糸を斜面に平行に張って、斜面の上に置いた質量 $1.2\text{kg}$ の台車につないだ。モーターに $8.0\text{V}$ の電圧を加えたところ $0.50\text{A}$ の電流が流れ、台車は斜面にそって点 A から点 B まで一定の速さで引き上げられた。

モーターが消費した電気エネルギーのうち、物体（台車）を引き上げる仕事に変わった割合は、実験1と実験2で同じであったとする。実験2で、台車が斜面を上る速さは何 cm/s ですか。