地球の形と内部構造の問題
ある地域の地下は、P 波の速さ の一様な地殻と、その下の P 波の速さ （）の一様なマントル最上部からできている。両者の境界であるモホロビチッチ不連続面（モホ面）は水平である。
この地域で、ごく浅い地震が起こった。震源は地表にあるとみなせる。震源から一直線上に並んだ観測点で、P 波の初動が届くまでの時間（走時）を測ったところ、次の表の結果を得た。
| 震央距離 | P 波の走時 |
|---|---|
震央距離 までの 3 点では、地殻内を直接伝わった P 波（直接波）が最初に届いた。震央距離 以上の 3 点では、モホ面に沿ってマントル最上部を伝わった P 波（屈折波）が最初に届いた。走時曲線は、どちらの波についても直線になる。
直接波と屈折波の走時曲線が交わる点の震央距離を とする。このとき、モホ面の深さ との間には
の関係がある。この地域のモホ面の深さは何 か。有効数字 2 桁で答えよ。
この問題で使うもの
- 速さと平均の速さ（説明と入口の問題）
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
表を、直接波が最初に届く近い観測点と、屈折波が最初に届く遠い観測点に分けて考えます。それぞれの走時曲線の傾きから、地殻とマントル最上部の P 波の速さがわかります。
ヒント 2
速さは「震央距離の差 ÷ 走時の差」で求められます。2 本の走時曲線を式で表し、走時が等しくなる震央距離 を求めて、与えられた関係式に代入しましょう。
ヒント 3
、 です。屈折波の走時曲線は と表せます。
答えと解説
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解説を読む
1. 地殻の P 波の速さ
震央距離 までは直接波が最初に届く。直接波の走時曲線は原点を通る直線で、その傾きの逆数が になる。
、 の点でも となり、一致する。
2. マントル最上部の P 波の速さ
震央距離 以上では屈折波が最初に届く。屈折波の走時曲線の傾きの逆数が になる。
と の間でも となり、一致する。
3. 走時曲線の交点の震央距離
震央距離を （）、走時を （）とする。直接波の走時曲線は
である。屈折波の走時曲線は傾きが で、 のとき を通る。 なので
である。2 つの直線の交点では
が成り立つ。 なので
となる。よって である。
4. モホ面の深さ
与えられた関係式に代入する。
（確かめ：屈折波は、地殻を斜めに下りてモホ面に沿って進み、また斜めに上がってくる。この経路のため、屈折波の走時曲線は での値が にならず、 になる。この値はモホ面が深いほど大きくなる。 のとき、この値は となり、表から求めた値と一致する。）
よって、モホ面の深さは である。
別解
直接波の速さは、走時曲線の傾きの逆数から となる。屈折波の速さは、 と の間で となる。 と の間も で一致する。
屈折波の走時曲線を とおく。 のとき より である。
直接波は である。交点では が成り立つ。 より となる。
与式に代入すると となる。
検算として、切片時間の式 を使う。 なので となる。 から で一致する。