地球の形と内部構造

北半球の同じ経線上にある 2 地点 A, B で、同じ夜に北極星の高度を測ったところ、地点 A では $35.0^{\circ }$、地点 B では $39.5^{\circ }$ であった。また、地点 A と地点 B の間の経線にそった距離は $500\text{km}$ であった。

地球を完全な球とみなし、北極星の高度はその地点の緯度に等しいものとする。このとき、地球の全周の長さは何 km か。

地球を、赤道方向にふくらんだ回転楕円体とみなす。赤道半径を $a$、極半径を $b$ とすると、扁平率は $\frac{a-b}{a}$ で表される。

簡単のため、赤道半径を $a=6400\text{km}$、扁平率を $\frac{1}{320}$ とする。このとき、赤道半径と極半径の差 $a-b$ は何 km か。

地球を半径 $R=6.4\times 10^6\text{m}$ の球とみなし、地球の質量を $M=6.0\times 10^{24}\text{kg}$ とする。地球の平均密度は何 $g/c{\mathrm{m}}^3$ か。円周率は $\pi =3.14$ とし、有効数字 2 桁で求めよ。

ある地域では、標高 $0\text{km}$ の平野の下の地殻の厚さが $30\text{km}$ である。この地域に標高 $4\text{km}$ の山脈があり、山脈の下では地殻の底が、平野の下の地殻の底よりも $d\text{km}$ だけ深いところまでのびている（山の根）。

地殻の密度を $2.7g/c{\mathrm{m}}^3$、マントルの密度を $3.3g/c{\mathrm{m}}^3$ とし、どちらも一様であるとする。山脈の根の底の深さを補償面とし、アイソスタシーが成り立っている（補償面より上の、単位面積あたりの質量が平野の下と山脈の下で等しい）とするとき、$d$ はいくらか。

北半球のある地点で地磁気を測定したところ、全磁力は $F=48000\text{nT}$、伏角は $I=60^{\circ }$ であった。この地点での地磁気の水平分力 $H$ は何 nT か。

ある海嶺の軸から、海嶺と直角の方向に $120\text{km}$ はなれた地点で海洋底の岩石を採取し、その年代を調べたところ $400$ 万年前にできたものであった。

この岩石は海嶺の軸でできたのち、一定の速さで海嶺から遠ざかる向きに移動してきたものとする。このプレートの移動の速さは何 cm/年か。

地表での重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、地球の半径を $R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$、万有引力定数を $G=6.7\times 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$ とする。地表の物体にはたらく重力は地球からの万有引力に等しいものとして、地球の質量 $M$ は何 kg か。有効数字 2 桁で求めよ。

地球を、中心にある球形の核と、そのまわりを包む球殻状の外側の層（マントルと地殻をあわせたもの）の 2 つに分けて考える。簡単のため、核の半径は地球の半径のちょうど $\frac{1}{2}$ とし、核と外側の層の密度はそれぞれ一様であるとする。

地球全体の平均密度が $5.5g/c{\mathrm{m}}^3$、外側の層の密度が $4.5g/c{\mathrm{m}}^3$ であるとき、核の密度は何 $g/c{\mathrm{m}}^3$ か。

氷期に、ある大陸の上に厚さ $2200\text{m}$ の氷床がのっていて、アイソスタシーが成り立っていた。その後、この氷床がすべてとけて流れ去り、十分に時間がたって再びアイソスタシーが成り立つ状態になった。

氷の密度を $0.90g/c{\mathrm{m}}^3$、マントルの密度を $3.3g/c{\mathrm{m}}^3$ とする。氷床がとけた後に地殻は形も厚さも変わらずにそのまま持ち上がり、その分だけ地殻の下にマントルが流れこむものとする。氷床がなくなったことによって、この地域の地殻は何 m 隆起したか。

ある海洋プレートの上に、ホットスポットでできた火山島が一直線に並んでいる。いま活動している火山島 A の真下にホットスポットがあり、ほかの島はそこから同じ向きに並んでいる。各島の、島 A からの距離と、島をつくる溶岩の年代は次の表のとおりであった。

ホットスポットの位置はマントルに対して動かず、プレートはこの間ずっと一定の速さで動いてきたものとする。マントルに対するこのプレートの移動の速さは何 cm/年か。

現在、北緯 $35^{\circ }$ にある陸塊で、ある時代の溶岩の残留磁化を調べたところ、その伏角 $I$ は下向き（北半球の向き）で、$\tan I=2.0$ であった。

地球の磁場は地球の中心に置いた棒磁石（地軸と同じ向き）による磁場とみなし、残留磁化の伏角 $I$ と、溶岩ができたときの緯度（古緯度）$\phi$ の間には $\tan I=2\tan \phi$ の関係が成り立つものとする。また、この陸塊は溶岩ができてから現在まで、経線にそって南北方向にだけ移動したものとし、緯度 $1^{\circ }$ あたりの経線の長さを $110\text{km}$ とする。

この陸塊は、溶岩ができてから現在までに、南北方向に何 km 移動したか。

標高 $500\text{m}$ のある地点で重力を測定し、次の表の値を得た。単位はすべて mGal（ミリガル）である。

ブーゲー異常は、観測値にフリーエア補正とブーゲー補正を加えた値から標準重力を引いたものとする（地形補正は考えない）。この地点のブーゲー異常は何 mGal か。

ある地点で地磁気の三要素を観測したところ、次の表の結果を得た。

この地点の地磁気の水平分力が真北の向きにもつ成分（北向き成分）の大きさは何 $\mathrm{nT}$ か。有効数字 $3$ 桁で求めよ。必要であれば、次の三角比の値を用いよ。

同じ経線上にある 2 地点 A, B で北極星の高度を測ったところ、2 地点の緯度の差は $4.5^{\circ }$ であった。また、A と B の間の経線に沿った距離は $500\mathrm{km}$ であった。

まず、地球を球とみなして、この測定から地球の半径 $R$ を求める。

次に、地球を回転楕円体とみなし、赤道半径を $a$、極半径を $b$ とする。扁平率 $\frac{a-b}{a}$ は $\frac{1}{300}$ であり、さきに求めた $R$ は $a$ と $b$ の平均 $\frac{a+b}{2}$ に等しいものとする。

このとき、赤道半径と極半径の差 $a-b$ は何 $\mathrm{km}$ か。円周率は $\pi =3.14$ とし、小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。

地球を、中心にある球形の核と、そのまわりを包む球殻状の層（マントルと地殻を合わせたもの。以下、外側の層という）の 2 層からなる球とみなす。地球の半径を $6.4\times 10^6\mathrm{m}$、核の半径を $3.5\times 10^6\mathrm{m}$、地球の質量を $6.0\times 10^{24}\mathrm{kg}$ とする。また、外側の層の平均密度は $4.5g/c{\mathrm{m}}^3$ であるとする。円周率は $\pi =3.14$ とし、半径 $r$ の球の体積は $\frac{4}{3}\pi r^3$ で表されるものとする。

このとき、核の平均密度は何 $g/c{\mathrm{m}}^3$ か。小数第 2 位を四捨五入して、小数第 1 位まで求めよ。

北半球のある地域で、5 つの地点 P〜T において地磁気を観測した。各地点での地磁気の水平分力 $H$ と鉛直分力 $Z$ の大きさは次の表のとおりである。どの地点でも、鉛直分力は鉛直下向きであった。

伏角 $I$ は、地磁気（全磁力）の向きが水平面となす角であり、$0^{\circ }\leqq I\leqq 90^{\circ }$ の範囲にある。5 地点のうち伏角が最も大きい地点における全磁力の大きさは何 nT か。整数で答えよ。

同じ経線（子午線）上にある 2 地点 A, B で緯度を測定したところ、A は北緯 $28.0^{\circ }$、B は北緯 $36.0^{\circ }$ であった。また、A と B の間の子午線に沿った距離は $890.1\mathrm{km}$ であった。

この測定結果から、地球を球とみなして地球の半径を求める。さらに、この半径を地球の赤道半径 $a$ とみなし、極半径 $b$ を $6357\mathrm{km}$ として、地球の扁平率 $\frac{a-b}{a}$ を求めよ。答えは有効数字 2 桁の小数で答えよ。ただし、円周率は $3.14$ とする。

ある地域には、標高 $0\mathrm{km}$ の平野と、その近くにある平均の標高 $4.0\mathrm{km}$ の山脈がある。平野の地下の地殻の厚さは $30\mathrm{km}$ である。地殻の密度を $2.7g/c{\mathrm{m}}^3$、マントルの密度を $3.3g/c{\mathrm{m}}^3$ とし、地殻とマントルの密度はどこでも一様とする。

この地域ではアイソスタシーが成り立っていて、地殻はマントルの上に浮かんでつりあっているとする。すなわち、山脈の地殻の底よりも深いある深さ（補償面）では、どの地点でも、その上にある岩石の単位面積あたりの質量が等しいとする。また、山脈の地殻の上面は山脈の平均の標高の高さで平らであるとみなす。

このとき、山脈の地下の地殻の厚さ（山脈の地表から地殻の底までの厚さ）は何 $\mathrm{km}$ か。

ある地域の地下は、P 波の速さ $V_1$ の一様な地殻と、その下の P 波の速さ $V_2$（$V_2>V_1$）の一様なマントル最上部からできている。両者の境界であるモホロビチッチ不連続面（モホ面）は水平である。

この地域で、ごく浅い地震が起こった。震源は地表にあるとみなせる。震源から一直線上に並んだ観測点で、P 波の初動が届くまでの時間（走時）を測ったところ、次の表の結果を得た。

震央距離 $90\mathrm{km}$ までの 3 点では、地殻内を直接伝わった P 波（直接波）が最初に届いた。震央距離 $240\mathrm{km}$ 以上の 3 点では、モホ面に沿ってマントル最上部を伝わった P 波（屈折波）が最初に届いた。走時曲線は、どちらの波についても直線になる。

直接波と屈折波の走時曲線が交わる点の震央距離を $x$ とする。このとき、モホ面の深さ $h$ との間には
$$h=\frac{x}{2}\sqrt{\frac{V_2-V_1}{V_2+V_1}}$$
の関係がある。この地域のモホ面の深さは何 $\mathrm{km}$ か。有効数字 2 桁で答えよ。

南北にのびるまっすぐな中央海嶺があり、その東側のプレート（以下、プレート P という）について次の観測が得られた。

【観測 1】プレート P 上の海洋底の岩石の年代を、海嶺軸から真東に向かって測った距離ごとに調べると、次の表のようになった。

【観測 2】プレート P 上には、ホットスポットによってできた火山島の列が東西に並んでいる。現在活動している火山島は、ホットスポットの真上にあり、海嶺軸から真東に $450\mathrm{km}$ の位置にある。ほかの火山島について、現在活動している火山島から真東に測った距離と、その火山島ができた年代は次の表のとおりである。

ホットスポットはマントルに対して動かず、プレート P と海嶺はそれぞれ一定の速さで東西方向にのみ動き続けてきたものとする。また、海洋底の岩石の年代は、その岩石が海嶺軸でできてから現在までの時間に等しく、火山島はできた時点でホットスポットの真上にあったものとする。

ホットスポットの位置が海嶺軸の真下にあったのは今から何万年前か。整数で答えよ。

ある大陸に、標高 $0\mathrm{km}$ の平野と、それに隣接する山脈がある。平野の地下の地殻の厚さは $32\mathrm{km}$ である。かつて、この山脈の平均の標高は $4.4\mathrm{km}$ であった。その後、長い時間をかけて山脈の表面が一様に侵食され、取り除かれた岩石の厚さは合計で $11\mathrm{km}$ になった。侵食が進む間、山脈はつねにアイソスタシーが成り立つように隆起し続けたものとする。

地殻の密度を $2.7g/c{\mathrm{m}}^3$、マントルの密度を $3.3g/c{\mathrm{m}}^3$ とし、地殻は平野でも山脈でも同じ密度の 1 層からなるとする。また、アイソスタシーは、密度の小さい地殻がマントルに浮かび、山の下には地殻の「根」が張り出しているというモデル（エアリーのモデル）で成り立つとする。

現在の山脈の平均の標高は何 $\mathrm{km}$ か。小数第 2 位を四捨五入して小数第 1 位まで求めよ。

地球を半径 $R=6.37\times 10^6\mathrm{m}$ の球とみなす。地表での重力加速度の大きさは $g=9.80m/{\mathrm{s}}^2$、万有引力定数は $G=6.67\times 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$ とする。地表の物体にはたらく重力は、地球の全質量が中心に集まったとしたときの万有引力に等しいとし、地球の自転の影響は無視する。

地震波の観測から、地球の中心には半径 $r=3.48\times 10^6\mathrm{m}$ の球形の核があることがわかっている。核の平均密度を $10.9g/c{\mathrm{m}}^3$ とするとき、核のまわりを包む層（マントルと地殻を合わせたもの）の質量は、地球全体の質量の何 % か。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。ただし、円周率は $\pi =3.14$ とする。

ある陸塊から、年代の異なる 2 つの火山岩の試料 A、B を採取し、それぞれの残留磁化を測定した。残留磁化のベクトルを、試料を採取した地点での北向き成分 $X$、東向き成分 $Y$、鉛直下向き成分 $Z$ に分けた結果が次の表である（単位は $10^{-3}A/m$）。

次のことを仮定する。
- 岩石が形成されたときの地磁気は、地球の中心に置いた、自転軸と同じ向きの棒磁石（双極子）がつくる磁場であり、A、B が形成されたときはどちらも現在と同じ向き（正磁極期）であった。
- このとき、伏角 $I$（水平面から下向きに測った角）と、その地点の緯度 $\phi$ との間には $\tan I=2\tan \phi$ の関係がある。
- 残留磁化の向きは、岩石が形成されたときの地磁気の向きを記録しており、その後変化していない。陸塊は形成後に鉛直な軸のまわりに回転した可能性があるが、この回転は伏角を変えない。
- 地球は半径 $6.4\times 10^3\mathrm{km}$ の球とし、円周率は $3.14$ とする。

角度と正接の値は次の表のとおりである。A、B が形成された地点の緯度（古緯度）は、それぞれ表の角度のうち正接の値が最も近いものとしてよい。

$6.0\times 10^7$ 年前から $2.0\times 10^7$ 年前までの間に、この陸塊は一定の速さで経線に沿って南北方向に移動したものとする。この間の移動の速さは何 $\mathrm{cm}$/年か。有効数字 2 桁で求めよ。

地球を、中心にある球形の核と、そのまわりを包む球殻状の層（マントルと地殻を合わせたもの。以下、外側の層という）の 2 層からなる球とみなす。核の半径は地球の半径のちょうど $\frac{1}{2}$ であるとする。

地球全体の平均密度は $5.5g/c{\mathrm{m}}^3$、外側の層の平均密度は $4.5g/c{\mathrm{m}}^3$ である。このとき、核の平均密度は何 $g/c{\mathrm{m}}^3$ か。小数第 1 位まで求めよ。