地球の形と内部構造の問題

ある海洋プレートの上に、ホットスポットでできた火山島が一直線に並んでいる。いま活動している火山島 A の真下にホットスポットがあり、ほかの島はそこから同じ向きに並んでいる。各島の、島 A からの距離と、島をつくる溶岩の年代は次の表のとおりであった。

ホットスポットの位置はマントルに対して動かず、プレートはこの間ずっと一定の速さで動いてきたものとする。マントルに対するこのプレートの移動の速さは何 cm/年か。

ある陸塊から、年代の異なる 2 つの火山岩の試料 A、B を採取し、それぞれの残留磁化を測定した。残留磁化のベクトルを、試料を採取した地点での北向き成分 $X$、東向き成分 $Y$、鉛直下向き成分 $Z$ に分けた結果が次の表である（単位は $10^{-3}A/m$）。

次のことを仮定する。
- 岩石が形成されたときの地磁気は、地球の中心に置いた、自転軸と同じ向きの棒磁石（双極子）がつくる磁場であり、A、B が形成されたときはどちらも現在と同じ向き（正磁極期）であった。
- このとき、伏角 $I$（水平面から下向きに測った角）と、その地点の緯度 $\phi$ との間には $\tan I=2\tan \phi$ の関係がある。
- 残留磁化の向きは、岩石が形成されたときの地磁気の向きを記録しており、その後変化していない。陸塊は形成後に鉛直な軸のまわりに回転した可能性があるが、この回転は伏角を変えない。
- 地球は半径 $6.4\times 10^3\mathrm{km}$ の球とし、円周率は $3.14$ とする。

角度と正接の値は次の表のとおりである。A、B が形成された地点の緯度（古緯度）は、それぞれ表の角度のうち正接の値が最も近いものとしてよい。

$6.0\times 10^7$ 年前から $2.0\times 10^7$ 年前までの間に、この陸塊は一定の速さで経線に沿って南北方向に移動したものとする。この間の移動の速さは何 $\mathrm{cm}$/年か。有効数字 2 桁で求めよ。

ある地域の地下は、P 波の速さ $V_1$ の一様な地殻と、その下の P 波の速さ $V_2$（$V_2>V_1$）の一様なマントル最上部からできている。両者の境界であるモホロビチッチ不連続面（モホ面）は水平である。

この地域で、ごく浅い地震が起こった。震源は地表にあるとみなせる。震源から一直線上に並んだ観測点で、P 波の初動が届くまでの時間（走時）を測ったところ、次の表の結果を得た。

震央距離 $90\mathrm{km}$ までの 3 点では、地殻内を直接伝わった P 波（直接波）が最初に届いた。震央距離 $240\mathrm{km}$ 以上の 3 点では、モホ面に沿ってマントル最上部を伝わった P 波（屈折波）が最初に届いた。走時曲線は、どちらの波についても直線になる。

直接波と屈折波の走時曲線が交わる点の震央距離を $x$ とする。このとき、モホ面の深さ $h$ との間には
$$h=\frac{x}{2}\sqrt{\frac{V_2-V_1}{V_2+V_1}}$$
の関係がある。この地域のモホ面の深さは何 $\mathrm{km}$ か。有効数字 2 桁で答えよ。

ある大陸に、標高 $0\mathrm{km}$ の平野と、それに隣接する山脈がある。平野の地下の地殻の厚さは $32\mathrm{km}$ である。かつて、この山脈の平均の標高は $4.4\mathrm{km}$ であった。その後、長い時間をかけて山脈の表面が一様に侵食され、取り除かれた岩石の厚さは合計で $11\mathrm{km}$ になった。侵食が進む間、山脈はつねにアイソスタシーが成り立つように隆起し続けたものとする。

地殻の密度を $2.7g/c{\mathrm{m}}^3$、マントルの密度を $3.3g/c{\mathrm{m}}^3$ とし、地殻は平野でも山脈でも同じ密度の 1 層からなるとする。また、アイソスタシーは、密度の小さい地殻がマントルに浮かび、山の下には地殻の「根」が張り出しているというモデル（エアリーのモデル）で成り立つとする。

現在の山脈の平均の標高は何 $\mathrm{km}$ か。小数第 2 位を四捨五入して小数第 1 位まで求めよ。

ある地域には、標高 $0\mathrm{km}$ の平野と、その近くにある平均の標高 $4.0\mathrm{km}$ の山脈がある。平野の地下の地殻の厚さは $30\mathrm{km}$ である。地殻の密度を $2.7g/c{\mathrm{m}}^3$、マントルの密度を $3.3g/c{\mathrm{m}}^3$ とし、地殻とマントルの密度はどこでも一様とする。

この地域ではアイソスタシーが成り立っていて、地殻はマントルの上に浮かんでつりあっているとする。すなわち、山脈の地殻の底よりも深いある深さ（補償面）では、どの地点でも、その上にある岩石の単位面積あたりの質量が等しいとする。また、山脈の地殻の上面は山脈の平均の標高の高さで平らであるとみなす。

このとき、山脈の地下の地殻の厚さ（山脈の地表から地殻の底までの厚さ）は何 $\mathrm{km}$ か。