地球の形と内部構造の問題

ある地域には、標高 $0\mathrm{km}$ の平野と、その近くにある平均の標高 $4.0\mathrm{km}$ の山脈がある。平野の地下の地殻の厚さは $30\mathrm{km}$ である。地殻の密度を $2.7g/c{\mathrm{m}}^3$、マントルの密度を $3.3g/c{\mathrm{m}}^3$ とし、地殻とマントルの密度はどこでも一様とする。

この地域ではアイソスタシーが成り立っていて、地殻はマントルの上に浮かんでつりあっているとする。すなわち、山脈の地殻の底よりも深いある深さ（補償面）では、どの地点でも、その上にある岩石の単位面積あたりの質量が等しいとする。また、山脈の地殻の上面は山脈の平均の標高の高さで平らであるとみなす。

このとき、山脈の地下の地殻の厚さ（山脈の地表から地殻の底までの厚さ）は何 $\mathrm{km}$ か。

地球を、中心にある球形の核と、そのまわりを包む球殻状の層（マントルと地殻を合わせたもの。以下、外側の層という）の 2 層からなる球とみなす。地球の半径を $6.4\times 10^6\mathrm{m}$、核の半径を $3.5\times 10^6\mathrm{m}$、地球の質量を $6.0\times 10^{24}\mathrm{kg}$ とする。また、外側の層の平均密度は $4.5g/c{\mathrm{m}}^3$ であるとする。円周率は $\pi =3.14$ とし、半径 $r$ の球の体積は $\frac{4}{3}\pi r^3$ で表されるものとする。

このとき、核の平均密度は何 $g/c{\mathrm{m}}^3$ か。小数第 2 位を四捨五入して、小数第 1 位まで求めよ。

地球を半径 $R=6.37\times 10^6\mathrm{m}$ の球とみなす。地表での重力加速度の大きさは $g=9.80m/{\mathrm{s}}^2$、万有引力定数は $G=6.67\times 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$ とする。地表の物体にはたらく重力は、地球の全質量が中心に集まったとしたときの万有引力に等しいとし、地球の自転の影響は無視する。

地震波の観測から、地球の中心には半径 $r=3.48\times 10^6\mathrm{m}$ の球形の核があることがわかっている。核の平均密度を $10.9g/c{\mathrm{m}}^3$ とするとき、核のまわりを包む層（マントルと地殻を合わせたもの）の質量は、地球全体の質量の何 % か。小数第 1 位を四捨五入して整数で答えよ。ただし、円周率は $\pi =3.14$ とする。

南北にのびるまっすぐな中央海嶺があり、その東側のプレート（以下、プレート P という）について次の観測が得られた。

【観測 1】プレート P 上の海洋底の岩石の年代を、海嶺軸から真東に向かって測った距離ごとに調べると、次の表のようになった。

【観測 2】プレート P 上には、ホットスポットによってできた火山島の列が東西に並んでいる。現在活動している火山島は、ホットスポットの真上にあり、海嶺軸から真東に $450\mathrm{km}$ の位置にある。ほかの火山島について、現在活動している火山島から真東に測った距離と、その火山島ができた年代は次の表のとおりである。

ホットスポットはマントルに対して動かず、プレート P と海嶺はそれぞれ一定の速さで東西方向にのみ動き続けてきたものとする。また、海洋底の岩石の年代は、その岩石が海嶺軸でできてから現在までの時間に等しく、火山島はできた時点でホットスポットの真上にあったものとする。

ホットスポットの位置が海嶺軸の真下にあったのは今から何万年前か。整数で答えよ。

地球を、中心にある球形の核と、そのまわりを包む球殻状の層（マントルと地殻を合わせたもの。以下、外側の層という）の 2 層からなる球とみなす。核の半径は地球の半径のちょうど $\frac{1}{2}$ であるとする。

地球全体の平均密度は $5.5g/c{\mathrm{m}}^3$、外側の層の平均密度は $4.5g/c{\mathrm{m}}^3$ である。このとき、核の平均密度は何 $g/c{\mathrm{m}}^3$ か。小数第 1 位まで求めよ。