侵食・荷重の変化とアイソスタシーによる隆起・沈降

侵食で地表の岩石が取り除かれたり氷床がとけたりしたときに、アイソスタシーが保たれるように隆起・沈降する量や、その後の標高を求められる

前提

アイソスタシー（高校地学地球の形と内部構造）

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アイソスタシー（高校地学地球の形と内部構造）

説明

地表の岩石が侵食で削られたり、地面にのっていた氷床がとけたりすると、その地域の上にのっている質量が減ります。するとアイソスタシーが保たれるように、地殻はその分だけ浮き上がり（隆起）、逆に氷床や堆積物がのると沈みます（沈降）。この技能では、取り除かれた（または加わった）物質の密度と厚さから隆起・沈降の量を求め、その後の標高を計算します。北欧やカナダで氷床がとけたあとに今も土地が隆起していることや、山が削られてもなかなか低くならないことを、数値で説明できるようになります。

なぜそうしてよいのか

アイソスタシーでは、十分深い補償面より上にある、底面積 $1$ の柱の中の質量が、どこでも（いつでも）等しくなるように地殻が浮き沈みします。補償面の深さは変わらないものとして、ある地点の柱の質量が変化の前後で同じになる条件を考えます。

地表から密度 $ρ_{c}$ の岩石が厚さ $e$ だけ取り除かれると、柱の質量は単位面積あたり $ρ_{c} e$ だけ減ります。この減った分を補うために、地殻全体が $u$ だけ持ち上がり、その下のすき間（補償面の上の厚さ $u$ の部分）に、まわりから密度 $ρ_{m}$ のマントルが流れこみます。流れこんだマントルの質量は単位面積あたり $ρ_{m} u$ なので、質量が元にもどる条件は
$ρ_{m} u = ρ_{c} e ⟹ u = \frac{ρ _{c}}{ρ _{m}} e$
です。氷床（密度 $ρ_{i}$ 、厚さ $t$ ）がとけた場合も同じで、 $ρ_{m} u = ρ_{i} t$ から $u = \frac{ρ _{i}}{ρ _{m}} t$ となります。荷重が加わったときは、逆向きに同じ量だけ沈みます。

$ρ_{c} < ρ_{m}$ なので $u < e$ です。つまり侵食で $e$ 削られても、地表は $e$ だけ低くなるのではなく、 $u$ だけ持ち上がって、差し引き $e - u = (1 - \frac{ρ _{c}}{ρ _{m}}) e$ だけしか低くなりません。山が削られにくく見える理由の一つです。

手順

取り除かれた（または加わった）物質の密度と厚さから、単位面積あたりの質量の変化 $ρ \times (厚さ)$ を求める
地殻が $u$ だけ上下し、補償面の上でマントル（密度 $ρ_{m}$ ）が厚さ $u$ だけ増える（減る）と考え、 $ρ_{m} u = ρ \times (厚さ)$ の式を立てる
$u = \frac{ρ}{ρ _{m}} \times (厚さ)$ を計算して、隆起量（沈降量）を求める
その後の標高を問われたときは、「元の標高 − 削られた厚さ＋隆起量」のように、地表面の変化をすべて足し合わせる（氷床なら、とけた氷の上面ではなく、氷の下の岩盤の面について考える）
指定された桁数に丸める

例題

厚さ $2200 m$ の氷床におおわれていた地域で、氷床がすべてとけた。氷の密度を $0.90 g/c m^{3}$ 、マントルの密度を $3.3 g/c m^{3}$ とし、氷床がとけたあと、アイソスタシーが成り立つまで岩盤が隆起したとする。岩盤の隆起量は何 $m$ か。整数で求めよ。

例題の解答

手順 1（質量の変化）
取り除かれた氷の、単位面積あたりの質量は $0.90 \times 2200$ （ $g/c m^{3} \times m$ の単位）で、これが減った分である。

手順 2（式を立てる）
隆起量を $u m$ とすると、補償面の上にマントルが厚さ $u$ だけ流れこむので
$3.3 \times u = 0.90 \times 2200$

手順 3（隆起量を求める）
$u = \frac{0.90 \times 2200}{3.3} = \frac{1980}{3.3} = 600$

手順 4 は、その後の標高を問われていないので使わない。

手順 5（丸める）
割り切れて $600 m$ 。

答え: $600$

よくある誤り

取り除かれた厚さと同じだけ隆起する（例題なら $u = 2200 m$ ）としてしまう誤り。隆起で補うのは質量なので、正しくは $ρ_{m} u = ρ_{i} t$ から $u = \frac{ρ _{i}}{ρ _{m}} t = 600 m$ 。
密度の比を逆にして $u = \frac{ρ _{m}}{ρ _{c}} e$ としてしまう誤り。隆起量は取り除いた厚さより小さくなるはずで、正しくは $u = \frac{ρ _{c}}{ρ _{m}} e$ （ $ρ_{c} < ρ_{m}$ なので $u < e$ ）。
侵食後の標高を「元の標高＋隆起量」としてしまい、削られた分を引き忘れる誤り。地表は削られて $e$ 下がり、隆起で $u$ 上がるので、正しくは「元の標高 $- e + u$ 」。
地殻とマントルの密度差 $ρ_{m} - ρ_{c}$ を使って $u = \frac{ρ _{c}}{ρ _{m} - ρ _{c}} e$ としてしまう誤り。これは山の根の深さを求める式で、荷重の増減による隆起・沈降では、すき間に入るのはマントルなので、正しくは $u = \frac{ρ _{c}}{ρ _{m}} e$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
氷期に、ある大陸の上に厚さ $2200 m$ の氷床がのっていて、アイソスタシーが成り立っていた。その後、この氷床がすべてとけて流れ去り、十分に時間がたって再びアイソスタシーが成り立つ状態になった。
氷の密度を $0.90 g/c m^{3}$ 、マントルの密度を $3.3 g/c m^{3}$ とする。氷床がとけた後に地殻は形も厚さも変わらずにそのまま持ち上がり、その分だけ地殻の下にマントルが流れこむものとする。氷床がなくなったことによって、この地域の地殻は何 m 隆起したか。

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
ある大陸に、標高 $0 km$ の平野と、それに隣接する山脈がある。平野の地下の地殻の厚さは $32 km$ である。かつて、この山脈の平均の標高は $4.4 km$ であった。その後、長い時間をかけて山脈の表面が一様に侵食され、取り除かれた岩石の厚さは合計で $11 km$ になった。侵食が進む間、山脈はつねにアイソスタシーが成り立つように隆起し続けたものとする。
地殻の密度を $2.7 g/c m^{3}$ 、マントルの密度を $3.3 g/c m^{3}$ とし、地殻は平野でも山脈でも同じ密度の 1 層からなるとする。また、アイソスタシーは、密度の小さい地殻がマントルに浮かび、山の下には地殻の「根」が張り出しているというモデル（エアリーのモデル）で成り立つとする。
現在の山脈の平均の標高は何 $km$ か。小数第 2 位を四捨五入して小数第 1 位まで求めよ。