浮力とアルキメデスの原理

浮力が上下の面の水圧の差から生じ鉛直上向きにはたらくこと、その大きさが押しのけた流体の重さ $ρ V g$ に等しく、完全に沈めた物体では深さや物体の質量によらないことを判定できる

前提

圧力・水圧・大気圧（高校物理力と運動（知識））
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））

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圧力・水圧・大気圧（高校物理力と運動（知識））
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））

説明

水や空気などの流体の中にある物体は、流体から鉛直上向きの力を受けます。この力を浮力といいます。この技能では、浮力が生じる理由、はたらく向き、大きさ $ρ V g$ が何で決まり何に関係しないかを判定できるようになります。船が浮く理由、水中で物体が軽く感じる理由、気球が上がる理由などを考えるときに使います。

なぜそうしてよいのか

水中に、上下の面の面積が $S$ 、高さが $h$ の直方体を、上面と下面を水平にして完全に沈めたとします。上面の深さを $d$ 、水の密度を $ρ$ 、大気圧を $p_{0}$ 、重力加速度の大きさを $g$ とします。水圧は面を垂直に押すので、上面は下向きに $(p_{0} + ρ d g) S$ 、下面は上向きに ${p_{0} + ρ (d + h) g} S$ の力で押されます。側面にはたらく水圧は、同じ深さでは向かい合う面どうしで大きさが等しく向きが逆なので打ち消し合います。したがって合力は上向きで、その大きさは $F = {p_{0} + ρ (d + h) g} S - (p_{0} + ρ d g) S = ρ h S g = ρ V g$ となります（ $V = h S$ は物体の体積）。下面のほうが深く水圧が大きいので、合力はかならず鉛直上向きです。

この式には深さ $d$ も大気圧 $p_{0}$ も残りません。深く沈めると上面と下面の水圧はどちらも同じだけ大きくなり、その差は変わらないからです。また、式に出てくるのは流体の密度 $ρ$ で、物体の質量や材質は出てきません。水圧は「そこに何があるか」ではなく「深さ」だけで決まるからです。

形が複雑な物体でも同じことが言えます。物体を、同じ形の水で置き換えたと考えると、その水はまわりの水の中で静止しているので、まわりの水から受ける力（浮力）はその水にはたらく重力 $ρ V g$ とつり合っているはずです。まわりの水が押す力は中身によらないので、物体も同じ大きさ $ρ V g$ の浮力を受けます。つまり「浮力の大きさは、物体が押しのけた流体の重さに等しい」。これがアルキメデスの原理です。物体の一部だけが流体中にあるときは、 $V$ は流体中にある部分の体積になります。なお、物体が底に密着して下面に水が回り込まない場合は、下から押す水圧がないのでこの式は成り立ちません。

手順

浮力をおよぼしている流体（水・空気など）を確認し、その流体の密度 $ρ$ を使う（物体の密度ではない）
物体のうち流体中にある部分の体積 $V$ を求める。完全に沈んでいれば物体の体積、浮いていれば水面より下の部分の体積
浮力は鉛直上向きで、大きさは $F = ρ V g$ （押しのけた流体の重さ）と判定する
完全に沈めた物体では、深さを変えても、物体の質量や材質を変えても、 $V$ と $ρ$ が同じなら浮力は変わらないと判定する
物体が浮力と重力だけを受けて静止しているときは、つり合い $ρ V g = m g$ を使う。底からの垂直抗力や糸の張力などほかの力もはたらくときは、それらも含めてつり合いを考える

例題

水中に完全に沈めた物体にはたらく浮力について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。ただし、水の密度は深さによらず一定とし、物体は容器の底に密着していないものとする。
ア　浮力の大きさは、物体を深く沈めるほど大きくなる。
イ　体積が同じなら、質量の大きい物体ほど受ける浮力は大きい。
ウ　浮力の大きさは、物体が押しのけた水にはたらく重力の大きさに等しい。
エ　浮力は、物体の側面にはたらく水圧の合力であり、水平向きにはたらく。

例題の解答

手順 1：浮力をおよぼす流体は水なので、密度は水の密度 $ρ$ を使う。
手順 2：物体は完全に沈んでいるので、 $V$ は物体の体積そのもの。
手順 3：浮力は鉛直上向きで、大きさは $F = ρ V g$ 、つまり押しのけた体積 $V$ の水にはたらく重力の大きさに等しい。よってウは正しい。また、浮力は上面と下面の水圧の差から生じ、側面の水圧は打ち消し合うので、水平向きではなく鉛直上向きにはたらく。よってエは誤り。
手順 4：完全に沈めた物体では、深くすると上面・下面の水圧が同じだけ増えて差は変わらないので、浮力は深さによらない。よってアは誤り。また、 $F = ρ V g$ には物体の質量が入らないので、体積が同じなら質量によらず浮力は同じ。よってイは誤り。
以上より、正しいものはウ。

答え:

ウ

よくある誤り

深く沈めるほど水圧が大きくなるので浮力も大きくなる、としてしまう誤り。正しくは、上面と下面の水圧がどちらも同じだけ増えるので差 $ρ h g$ は変わらず、完全に沈んでいれば浮力 $ρ V g$ は深さによらない。
浮力の式に物体の密度を使って $ρ_{物体} V g$ としてしまう誤り（これは物体の重力 $m g$ である）。正しくは、流体の密度を使って $F = ρ_{流体} V g$ 。
水に浮いている物体で、 $V$ に物体全体の体積を使ってしまう誤り。正しくは、 $V$ は水面より下にある部分の体積で、浮いて静止しているとき $ρ V_{水中} g = m g$ 。
浮力はいつも物体の重力 $m g$ に等しい、としてしまう誤り。正しくは、浮力の大きさは $ρ V g$ で決まり、浮力と重力だけで静止（つり合い）しているときに $ρ V g = m g$ となる。ほかの力がはたらくときはそれらも含めてつり合いを考える。たとえば底に沈んで静止した物体では $ρ V g + N = m g$ （ $N$ は垂直抗力）、糸でつるして水中で静止させた物体では $ρ V g + T = m g$ （ $T$ は張力）となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
体積の等しいアルミニウムの立方体と鉄の立方体がある。鉄の立方体のほうが質量が大きい。それぞれを軽い糸でつるし、静止した水の中に、容器の底や壁に触れないように全体を沈めて静止させた。水の密度は一様で、重力加速度の大きさは一定とする。
水中の立方体にはたらく浮力について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
- ア　浮力は、立方体の上面と下面にはたらく水圧の差によって生じ、鉛直下向きにはたらく。
- イ　体積が等しくても、質量の大きい鉄の立方体にはたらく浮力のほうが、アルミニウムの立方体にはたらく浮力より大きい。
- ウ　浮力の大きさは、立方体が押しのけた水の重さに等しい。
- エ　全体が水中にある立方体を、底に触れないようにさらに深く沈めると、浮力は大きくなる。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

リソスフェア・アセノスフェアとアイソスタシー（高校地学地球の形と内部構造（知識））
ストークスの抵抗と終端速度（大学物理流体力学・連続体）
アルキメデスの原理と浮体のつり合い（大学物理流体力学・連続体）