ストークスの抵抗と終端速度

レイノルズ数が十分小さい球の抵抗力 $F = 6 π μ a v$ と重力・浮力のつり合いから終端速度 $v = \frac{2 ( ρ _{s} - ρ _{f} ) g a ^{2}}{9 μ}$ を求め、落球式粘度計の測定値から粘性率を求めたり、終端速度に近づく時間の目安 $\frac{m}{6 π μ a}$ を求められる

前提

空気抵抗と終端速度（高校物理力と運動（知識））
浮力とアルキメデスの原理（高校物理力と運動（知識））
抵抗力を含む運動方程式の解（大学物理力学（質点・剛体））

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1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
抵抗力を含む運動方程式の解（大学物理力学（質点・剛体））

説明

とても小さい球や、ねばりけの強い液体の中をゆっくり動く球は、速さに比例する抵抗力 $F = 6 π μ a v$ （ $μ$ は流体の粘性率、 $a$ は球の半径、 $v$ は速さ）を受けます。これをストークスの抵抗といいます。この抵抗と重力・浮力のつり合いから、球が液体中を沈むときの終端速度 $v = \frac{2 ( ρ _{s} - ρ _{f} ) g a ^{2}}{9 μ}$ が求まります。逆に、終端速度を測れば液体の粘性率がわかり（落球式粘度計）、終端速度に近づくまでの時間の目安 $\frac{m}{6 π μ a}$ も見積もれます。

なぜそうしてよいのか

流体の中を動く物体が受ける抵抗には、粘性によって流体を引きずることによるものと、物体の前の流体を押しのけて加速させることによるものがあります。どちらが重要かを表す無次元数が、流体の密度 $ρ_{f}$ 、速さ $v$ 、球の直径 $2 a$ 、粘性率 $μ$ から作るレイノルズ数 $R e = \frac{ρ _{f} v \cdot 2 a}{μ}$ です。 $R e$ が十分小さい（目安として 1 より十分小さい）とき、つまり小さく遅い球やねばりけの強い流体では粘性が支配的で、抵抗力は粘性率・大きさ・速さのそれぞれに比例します。単位を見ると、 $μ$ [Pa·s $=$ N·s/m $^{2}$ ]、 $a$ [m]、 $v$ [m/s] の積 $μ a v$ はちょうど力 [N] になります。流体の運動の方程式を球のまわりで解くと比例定数が $6 π$ と求まり、 $F = 6 π μ a v$ となります（ここでは結果を使います）。この力は前提の技能の「速さに比例する抵抗 $b v$ 」で $b = 6 π μ a$ とした場合にあたります。

密度 $ρ_{s}$ 、半径 $a$ の球を密度 $ρ_{f}$ の液体中で静かに放すと、下向きに重力 $ρ_{s} \cdot \frac{4}{3} π a^{3} g$ 、上向きに浮力 $ρ_{f} \cdot \frac{4}{3} π a^{3} g$ と抵抗 $6 π μ a v$ がはたらきます。速さが増すと抵抗が増え、やがて 3 つの力がつり合って一定の速さ（終端速度）になります。つり合いの式 $\frac{4}{3} π a^{3} (ρ_{s} - ρ_{f}) g = 6 π μ a v$ を $v$ について解くと
$v = \frac{2 ( ρ _{s} - ρ _{f} ) g a ^{2}}{9 μ}$
です。終端速度は半径の 2 乗に比例するので、小さい粒子ほどずっとゆっくり沈みます。この式を $μ$ について解けば $μ = \frac{2 ( ρ _{s} - ρ _{f} ) g a ^{2}}{9 v}$ となり、終端速度の測定から粘性率がわかります。

球の質量を $m$ とすると運動方程式は $m \frac{d v}{d t} = (ρ_{s} - ρ_{f}) \frac{4}{3} π a^{3} g - 6 π μ a v$ で、前提の技能と同様に解くと、静止から放した場合 $v (t) = v_{\infty} (1 - e^{- t / τ})$ 、 $τ = \frac{m}{6 π μ a}$ となります（ $v_{\infty}$ は終端速度）。 $τ$ たつごとに終端速度との差が $1/ e$ 倍になるので、 $τ$ の数倍の時間がたてば、ほぼ終端速度とみなせます。（球が動かす周りの流体の慣性は無視した目安です。）

手順

球の半径 $a$ （直径が与えられたら半分にする）、球と流体の密度 $ρ_{s}$ , $ρ_{f}$ 、粘性率 $μ$ を SI 単位で書き出す
重力・浮力・抵抗のつり合いを書く： $\frac{4}{3} π a^{3} (ρ_{s} - ρ_{f}) g = 6 π μ a v$
求めたいものについて解く：終端速度 $v = \frac{2 ( ρ _{s} - ρ _{f} ) g a ^{2}}{9 μ}$ 、粘性率 $μ = \frac{2 ( ρ _{s} - ρ _{f} ) g a ^{2}}{9 v}$
近づく時間の目安を問われたら $τ = \frac{m}{6 π μ a}$ （ $m = ρ_{s} \cdot \frac{4}{3} π a^{3}$ ）を計算する
レイノルズ数 $R e = \frac{ρ _{f} v \cdot 2 a}{μ}$ が 1 より十分小さいことを確かめ、ストークスの抵抗が使えることを確認する

例題

落球式粘度計で、密度 $ρ_{f} = 1200 kg/ m^{3}$ の液体に、半径 $a = 1.0 \times 1 0^{- 3} m$ 、密度 $ρ_{s} = 5700 kg/ m^{3}$ の小球を静かに沈めたところ、小球は一定の速さ $v = 4.9 \times 1 0^{- 3} m/s$ で沈んだ。小球が受ける抵抗力は $6 π μ a v$ （ $μ$ は液体の粘性率）で表されるとし、容器の壁の影響は無視する。重力加速度の大きさを $g = 9.8 m/ s^{2}$ とする。液体の粘性率 $μ$ [Pa·s] を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $a = 1.0 \times 1 0^{- 3} m$ 、 $ρ_{s} - ρ_{f} = 5700 - 1200 = 4500 kg/ m^{3}$ 、 $v = 4.9 \times 1 0^{- 3} m/s$ 。

【手順 2】一定の速さで沈んでいるので力はつり合っている： $\frac{4}{3} π a^{3} (ρ_{s} - ρ_{f}) g = 6 π μ a v$ 。

【手順 3】 $μ$ について解くと $μ = \frac{2 ( ρ _{s} - ρ _{f} ) g a ^{2}}{9 v} = \frac{2 \times 4500 \times 9.8 \times ( 1.0 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{9 \times 4.9 \times 1 0 ^{- 3}} = \frac{8.82 \times 1 0 ^{- 2}}{4.41 \times 1 0 ^{- 2}} = 2.0 Pa \cdot s$ 。

（手順 4 はこの問題では使わない。）

【手順 5】確認： $R e = \frac{1200 \times 4.9 \times 1 0 ^{- 3} \times 2.0 \times 1 0 ^{- 3}}{2.0} \approx 5.9 \times 1 0^{- 3}$ で 1 より十分小さく、ストークスの抵抗を使ってよい。

答え: $2$

よくある誤り

浮力を忘れて $\frac{4}{3} π a^{3} ρ_{s} g = 6 π μ a v$ としてしまう誤り。液体中では浮力がはたらくので、正しくは密度の差 $ρ_{s} - ρ_{f}$ を使う（例題で浮力を忘れると $μ \approx 2.5 Pa \cdot s$ になってしまう）。
半径の代わりに直径 $d$ を $a$ に代入してしまう誤り。 $F = 6 π μ a v$ の $a$ は半径なので、直径が与えられたら $a = d /2$ とする。 $v \propto a^{2}$ なので、取り違えると終端速度や粘性率が 4 倍ずれる。
終端速度が半径に比例する（ $v \propto a$ ）としてしまう誤り。重力と浮力の差は $a^{3}$ に、抵抗は $a$ に比例するので、正しくは $v = \frac{2 ( ρ _{s} - ρ _{f} ) g a ^{2}}{9 μ} \propto a^{2}$ 。
レイノルズ数を確かめずに大きな球や速い流れにも $6 π μ a v$ を使ってしまう誤り。この式が成り立つのは $R e = \frac{ρ _{f} v \cdot 2 a}{μ}$ が 1 より十分小さいときだけで、 $R e$ が大きいと抵抗は速さに比例しなくなる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
落球式粘度計で液体の粘性率を測定する。半径 $a = 1.0 mm$ 、密度 $ρ_{s} = 7.80 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$ の鋼球を、密度 $ρ_{f} = 1.26 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$ の静止した液体中で静かに落とすと、鋼球はすぐに一定の速さになり、その後 $0.120 m$ の距離を $10.0 s$ で落下した。鋼球が液体から受ける抵抗力はストークスの抵抗則 $F = 6 π μ a v$ （ $μ$ は液体の粘性率、 $v$ は球の速さ）に従うものとし、容器の壁の影響は無視する。重力加速度の大きさを $g = 9.8 m/ s^{2}$ とする。
この液体の粘性率 $μ$ は何 $Pa \cdot s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の演習問題レベル）
落球式粘度計で、ある液体の粘性率 $μ$ を測定する。密度 $ρ_{s}$ 、半径 $a$ の小さな鋼球を、密度 $ρ_{f} (< ρ_{s})$ の静止した液体中で静かに放すと、鋼球はすぐに終端速度に達し、その後は一定の速さで鉛直に落下した。終端速度に達したあと、鋼球が距離 $d$ を落下するのにかかった時間は $t$ であった。
鋼球が液体から受ける抵抗力はストークスの抵抗則 $F = 6 π μ a v$ （ $v$ は鋼球の速さ）にしたがうものとし（レイノルズ数は十分小さい）、容器の壁の影響は無視する。重力加速度の大きさを $g$ とする。液体の粘性率 $μ$ を、 $ρ_{s}, ρ_{f}, a, g, d, t$ を用いて表せ。