分数関数の積分（部分分数分解）

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。$${\int }_0^1\frac{1}{(x+1)(x+2)}dx$$

定積分 $${\int }_0^1\frac{1}{(x+1)(x+2)}dx$$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数を表す。

定積分
$${\int }_3^4\frac{1}{(x-1)(x-2)}dx$$
を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数を表す。

$t\geqq 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=0(t>0)$$
と初期条件 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(t)$ のラプラス変換を $Y(s)=\mathcal{L}[y(t)](s)$ とおき、ラプラス変換を用いてこの初期値問題を解け。$t\geqq 0$ における $y(t)$ を $t$ の式で答えよ。

$t\ge 0$ で定義された連続関数 $y(t)$ が、積分方程式
$$y(t)=1+2{\int }_0^t\cos (t-\tau )y(\tau )d\tau (t\ge 0)$$
を満たすとする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。ただし、$y(t)$ は指数位数であり、ラプラス変換をもつものとする。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+2y^{\prime }(t)+2y(t)=e^{-t}(t>0)$$
と初期条件 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。ラプラス変換 $Y(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}y(t)dt$ を用いて $y(t)$ を求め、$y\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$t\geqq 0$ で連続な関数 $y(t)$ が、$y(0)=1$ を満たし、$t=1$ を除く $t>0$ で微分可能であって、積分微分方程式
$$y^{\prime }(t)+3y(t)+2{\int }_0^{t}y(u)du=H(t-1)(t>0,t\ne 1)$$
を満たすとする。ここで $H(t-1)$ は $t<1$ のとき $0$、$t\geqq 1$ のとき $1$ をとる関数である。関数 $f(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ で定める。

このとき、広義積分
$${\int }_0^{\infty }ty(t)dt$$
の値を求めよ。

鉛直に置かれた、断面積 $S$ の一様な円筒形の容器がある。容器の上部は大気に開いている。容器の底には面積 $a$ の小さな穴があいていて、水はそこから大気中へ流れ出る。時刻 $t=0$ に容器が空の状態から、上から一定の体積流量 $Q(>0)$ で水を注ぎ始めた。

水位（底から水面までの高さ）を $h$ とする。十分に時間がたつと、水位は一定の値 $h_{\infty }$ に近づく。水位が $\frac{h_{\infty }}{4}$ に達する時刻を、$S,Q,a,g$ を用いて表せ。

ただし、次のように仮定する。
- 水は非圧縮性で粘性を無視できる完全流体とし、重力加速度の大きさを $g$ とする。
- $a\ll S$ であり、水面の降下・上昇の速さは穴から流れ出る水の速さに比べて無視できる。
- 各時刻で流れは定常とみなせ（準定常近似）、水面と穴の出口の圧力はどちらも大気圧に等しい。
- 注がれる水が水面を乱す影響と、穴の出口での縮流は無視する。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 2x\log (2+\sin x)dx$$ ただし、$\log$ は自然対数を表す。

実数全体で定義された可積分な関数 $f(x)$ のフーリエ変換と逆変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx,f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
で定める。

実数全体で連続な関数 $f(x)$ のフーリエ変換が
$$\hat{f}(\omega )=\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}(\omega \ne 0),\hat{f}(0)=1$$
であるとき、$f(1)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $f(x)=e^{-|x|}$, $g(x)=e^{-2|x|}$ の畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
で定める。また、可積分な関数 $\phi (x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{\phi }(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。畳み込み定理とパーセバルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }|\phi (x){|}^{2}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }|\hat{\phi }(\omega ){|}^{2}d\omega$$
を用いてよい。このとき、積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }h(x{)}^{2}dx$$
の値を求めよ。

関数 $\chi :\mathbb{Z}\to \{0,1,-1\}$ を
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv \pm 1(\mathrm{mod}8)),\\ -1& (n\equiv \pm 3(\mathrm{mod}8)),\\ 0& (n\text{ が偶数})\end{array}$$
で定める（これは法 $8$ の実ディリクレ指標である）。部分和を $S_N={\sum }_{n=1}^N\frac{\chi (n)}{n}$（$N$ は正の整数）とおく。

$N\to \infty$ のとき $S_N$ は収束し、
$$L(1,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n}=\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N=\frac{\log (1+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、微分積分学の基本的な事実（定積分の性質、置換積分、広義積分）は用いてよい。

$x>0$ で定義された微分可能な関数 $f(x)$ は、減少関数で $0<f(x)<1$ を満たし、$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)=1$ である。さらに、曲線 $C:y=f(x)(x>0)$ 上のどの点 $\mathrm{P}$ についても、$\mathrm{P}$ における $C$ の接線と $x$ 軸の交点を $\mathrm{Q}$ とすると $\mathrm{PQ}=1$ が成り立つ。

曲線 $C$ のうち $$\frac{\log 3-1}{2}\leqq x\leqq \log \left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ の部分の長さ $L$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。