積と商の微分

関数 $$f(x)=\frac{3x-1}{x^2+1}$$（$x$ は実数）について、$f^{\prime }(2)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $$f(x)=\frac{3x-1}{x^2+1}$$ について、$f^{\prime }(1)$ の値を求めよ。

$x\ne 1$ で定義された関数 $$f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$$ の導関数 $f^{\prime }(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $$y=(x^2+1{)}^x$$ について、$x=1$ における微分係数を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。

$x>0$ で定義された関数
$$f(x)=x^x$$
について、$f^{\prime }(e)$ の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底、$\log$ は自然対数を表す。

$x>0$ で定義された関数 $$f(x)=x^x$$ について、$f^{\prime }(e)$ の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底であり、対数は自然対数とする。

関数 $f(x)=(x+1)e^{-x}$ のグラフの変曲点の座標を求めよ。

関数 $y=(x+1)e^{-x}$ のグラフについて、増減と凹凸を調べ、このグラフの変曲点の座標を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

関数 $y=x{e}^{-x}$ の増減、グラフの凹凸、漸近線を調べて、グラフの概形をかきたい。このグラフの変曲点の座標を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底であり、必要ならば $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x}{e^x}=0$ を用いてよい。

$k$ を実数の定数とする。すべての正の実数 $x$ に対して、不等式 $$x\log x\geqq x+k$$ が成り立つような $k$ の最大値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

連続な関数 $f(x)$ が、すべての実数 $x$ について
$${\int }_0^{x}f(t)dt=x{e}^x$$
を満たしている。$f(x)$ を求めよ。

すべての実数 $x$ で連続な関数 $f(x)$ が、すべての実数 $x$ について
$${\int }_0^{x}f(t)dt=x{e}^x$$
を満たしている。このとき、$f(x)$ を求めよ。

関数 $f(x)=x^2{e}^{-x}$ について、曲線 $y=f(x)$ が上に凸となる $x$ の範囲を求めよ。ここでは、$f^{\prime \prime }(x)<0$ を満たす $x$ の範囲を答えるものとする。

関数 $f(x)=e^{2x}\sin x$ について、すべての実数 $x$ に対して
$$f^{\prime \prime }(x)-a{f}^{\prime }(x)+bf(x)=0$$
が成り立つような定数 $a,b$ の値を求めよ。答えは組 $(a,b)$ の形で答えよ。

関数 $f(x)=e^{2x}\cos x$ について、すべての実数 $x$ で
$$f^{\prime \prime }(x)+a{f}^{\prime }(x)+bf(x)=0$$
が成り立つような定数 $a,b$ の値を求めよ。答えは $(a,b)$ の組で答えよ。

$x>0$ を満たすすべての実数 $x$ に対して、不等式
$$\log x\le a\sqrt{x}$$
が成り立つような実数 $a$ の最小値を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。

関数 $f(x)=x^3+x$ の逆関数を $g(x)$ とする。関数
$$h(x)=\frac{\{g(x){\}}^2}{x}(x>0)$$
について、$h^{\prime }(10)$ の値を求めよ。

関数 $f(x)=(x^2-2)e^{-x}$ について、$f^{\prime }(x)<0$ かつ $f^{\prime \prime }(x)>0$ を満たす実数 $x$ の範囲を求めよ。これは、$f(x)$ が減少していて、しかも曲線 $y=f(x)$ が下に凸になっている範囲である。

曲線 $C:y=x{e}^x$ 上の点 $\mathrm{P}(1,e)$ における $C$ の接線を $\ell$、法線を $m$ とする。2 直線 $\ell$, $m$ と $y$ 軸で囲まれる三角形の面積 $S$ を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底である。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$
を考える。合成関数 $h(x)=f(f(x))$ について、$h^{\prime }(2)$ の値を求めよ。

$x>0$ で定義された関数
$$f(x)=x^{\sin x}$$
について、$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$x\log x=k(x>0)$$
が異なる $2$ つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とし、$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$ であることを用いてよい。

実数全体で定義された関数 $f(x)=x^3{e}^{-x}$ を考える。ただし、$e$ は自然対数の底とする。曲線 $y=f(x)$ の変曲点の $x$ 座標をすべて求めよ。

複素関数
$$f(z)=\frac{z^2{e}^z}{(z-2{)}^2}$$
の $z=2$ における留数 ${\mathrm{Res}}_{z=2}f(z)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=\left(e^t\cos t,e^t\sin t,e^t\right)(t\in \mathbb{R})$$
を考える。$c$ の $t$ に対応する点での曲率を $\kappa (t)$、ねじれ率を $\tau (t)$ とする。ただし、ねじれ率の符号は
$$\tau =\frac{\det (c^{\prime }(t),c^{\prime \prime }(t),c^{\prime \prime \prime }(t))}{|c^{\prime }(t)\times c^{\prime \prime }(t){|}^2}$$
で定める（右巻きの常螺旋 $(\cos t,\sin t,t)$ のねじれ率が正になる流儀）。このとき、比 $\frac{\tau (t)}{\kappa (t)}$ は $t$ によらない定数になる。その値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する非粘性バーガース方程式の初期値問題
$$u_t+u{u}_x=0(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=\frac{1}{1+x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$T>0$ に対し、$\mathbb{R}\times [0,T)$ 上で $C^1$ 級の解（古典解）が存在するような $T$ の上限を $T^{\ast }$ とする。$T^{\ast }$ を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。ラプラス変換の性質 $\mathcal{L}[t^{n}f(t)](s)=(-1{)}^n{F}^{(n)}(s)$（$n$ は正の整数）などを用いて、定積分
$$I={\int }_0^{\infty }{t}^3{e}^{-2t}\cos tdt$$
の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)=\sin t$, $g(t)=\cos t$ の畳み込みを
$$h(t)=(f\ast g)(t)={\int }_0^{t}f(t-u)g(u)du={\int }_0^t\sin (t-u)\cos udu$$
で定める。ラプラス変換 $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ の畳み込み定理 $\mathcal{L}[f\ast g]=\mathcal{L}[f]\mathcal{L}[g]$ を用いて、$h(t)$ を $t$ の式で表せ。

$I$ を $\mathbb{R}$ の開区間とし、$y:I\to \mathbb{R}$ は微分可能な関数で、すべての $t\in I$ に対して $y(t)>0$ かつ
$$y^{\prime }(t)=y(t)-y(t{)}^3$$
を満たすとする。このとき、ある実数の定数 $C$ が存在して、すべての $t\in I$ に対して $e^{2t}+C>0$ かつ
$$y(t)=\frac{e^t}{\sqrt{e^{2t}+C}}$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、解の存在と一意性の定理は用いずに示すこと。

$M$ を正の実数とし、$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を連続関数で、すべての実数 $t$ に対して $|f(t)|\le M$ を満たすものとする。$y:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ は微分可能な関数で、初期値問題
$$y^{\prime }(t)+2y(t)=f(t)(t\in \mathbb{R}),y(0)=y_0$$
を満たすとする（$y_0$ は実数の定数）。このとき、すべての $t\ge 0$ に対して
$$|y(t)|\le |y_0|e^{-2t}+\frac{M}{2}$$
が成り立つことを証明せよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt$$
で定める。$\omega$ を正の実数とする。次の事実は用いてよい。

• $s>0$ のとき $\mathcal{L}[\sin \omega t](s)=\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$、$\mathcal{L}[\cos \omega t](s)=\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$
• $f$ が $[0,\infty )$ で連続かつ有界で $F(s)=\mathcal{L}[f](s)(s>0)$ のとき、$s>0$ で $\mathcal{L}[tf(t)](s)=-F^{\prime }(s)$
• （一意性）$[0,\infty )$ で連続な 2 つの関数のラプラス変換が $s>0$ で一致すれば、2 つの関数は $[0,\infty )$ 上で一致する

$[0,\infty )$ で連続な関数 $g(t)$ が、すべての $s>0$ で
$$\mathcal{L}[g](s)=\frac{1}{(s^2+{\omega }^2{)}^2}$$
を満たすとき、
$$g(t)=\frac{\sin \omega t-\omega t\cos \omega t}{2{\omega }^3}(t\ge 0)$$
であることを証明せよ。

実数 $t$ の関数 $x(t),y(t)$ が、連立微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=3x-5y\\ y^{\prime }=x-y\end{array}$$
と初期条件 $x(0)=1,y(0)=1$ を満たすとする。$x\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

ある湖の魚の個体数（単位: 千匹）を、世代ごとに $N_t$（$t$ は 0 以上の整数）で表す。この魚は密度効果を受けて増え、その推移が離散時間の個体群モデル（ベバートン・ホルト型モデル）
$$N_{t+1}=f(N_t),f(N)=\frac{5N}{1+\frac{N}{20}}(N\geqq 0)$$
に従うとする。

このモデルの不動点（平衡点、$f(N)=N$ を満たす $N\geqq 0$）のうち、漸近安定であるものはただ 1 つである。それを $N^{\ast }$ とし、$f$ の $N^{\ast }$ における微分係数を $\lambda =f^{\prime }(N^{\ast })$ とする。組 $(N^{\ast },\lambda )$ をこの順に求めよ。

因果的な連続時間の線形時不変系がある。初期状態は $0$ とする。$t$ は時刻を表す実数で、信号はすべて無次元量とする。

この系に単位ステップ関数
$$u(t)=\{\begin{array}{ll}1& (t\ge 0)\\ 0& (t<0)\end{array}$$
を入力すると、出力（ステップ応答）は
$$s(t)=\left(1-e^{-t}\cos t\right)u(t)$$
となった。

同じ系に入力 $x(t)=e^{-2t}u(t)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。出力のエネルギー
$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }y(t{)}^{2}dt$$
の値を求めよ。

連続時間の因果的な線形時不変系がある（$t$ は時刻を表す実数で、初期状態は $0$ とする）。この系に単位ステップ入力 $u(t)$（$t<0$ で $0$、$t\ge 0$ で $1$）を加えたときの出力（ステップ応答）は
$$s(t)=\left[1-(1+2t)e^{-2t}\right]u(t)$$
であった。

同じ系に入力 $x(t)=e^{-t}u(t)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。出力のエネルギー
$$W={\int }_{-\infty }^{\infty }y(t{)}^{2}dt$$
を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

関数 $f(x)=x^3+2x-1$ （$x$ は実数）の逆関数を $g(x)$ とする。また、$x\ne 0$ である実数 $x$ に対して
$$h(x)=\frac{g(x^2+1)}{x}$$
と定める。$h^{\prime }(1)$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。すべての正の実数 $x$ に対して、不等式
$$\log x\le a\sqrt{x}$$
が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。

実数全体で定義された関数 $f(x)=x^3+2x+3$ の逆関数を $g(x)$ とする。さらに、$x>0$ において関数 $h(x)$ を
$$h(x)=\frac{g(x^2+2)}{x}$$
で定める。このとき、$h^{\prime }(2)$ の値を求めよ。

$x>0$ で定義された関数
$$f(x)=\frac{(\log x{)}^2}{x}$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数とする。$f^{\prime }(x)>0$ かつ $f^{\prime \prime }(x)<0$ を満たす実数 $x$ の範囲を求めよ。

$k$ を正の実数の定数とする。座標平面上の点 $\mathrm{A}(0,k)$ から双曲線 $$x^2-\frac{y^2}{3}=1$$ に 2 本の接線を引き、その接点を $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ とする。$k$ が正の実数全体を動くとき、三角形 $\mathrm{APQ}$ の面積の最小値を求めよ。

関数 $$f(x)=e^{\cos x}\sin x(0\leqq x\leqq \pi )$$ の最大値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

曲線 $C:y=e^{-x}$ 上の点 $\mathrm{P}(t,e^{-t})$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。ただし、$t$ は正の実数とし、$e$ は自然対数の底とする。$\ell$ と $x$ 軸の交点を $\mathrm{Q}$、$\ell$ と $y$ 軸の交点を $\mathrm{R}$、原点を $\mathrm{O}$ とする。$t$ が正の実数全体を動くとき、三角形 $\mathrm{OQR}$ の面積の最大値を求めよ。

関数 $$f(x)={\sin }^{3}x\cos x\left(0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}\right)$$ の最大値を求めよ。

媒介変数 $t$ を用いて $$x=e^t\cos t,y=e^t\sin t(0\leqq t\leqq \pi )$$ と表される曲線の長さ $L$ を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

$x>0$ で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=\frac{e^x}{x^2}$$
と初期条件 $y(1)=0$, $y^{\prime }(1)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=8e^{-x}\cos 2x$$ と初期条件 $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=-1$ を満たすとする。$y\left(\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

確率変数 $X,Y$ は互いに独立で、それぞれ確率密度関数
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array},f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2y}& (y>0)\\ 0& (y\le 0)\end{array}$$
をもつ。$T=\frac{X}{Y}$ とおくとき、$t>0$ における $T$ の確率密度関数 $g(t)$ を $t$ の式で表せ。

$n$ を正の整数とし、$A$ を $A^2=-E$（$E$ は $n$ 次単位行列）を満たす $n$ 次実正方行列とする（このような $A$ が存在するのは $n$ が偶数のときに限られる）。$\mathbf{x}:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ は微分可能な関数で、すべての実数 $t$ に対して
$${\mathbf{x}}^{\prime }(t)=A\mathbf{x}(t)$$
を満たすとする。このとき、すべての実数 $t$ に対して
$$\mathbf{x}(t)=(\cos t)\mathbf{x}(0)+(\sin t)A\mathbf{x}(0)$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、微分方程式の解の存在と一意性の定理は用いずに示すこと（平均値の定理、積の微分公式は用いてよい）。

$D={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ とし、$D$ 上のベクトル場 $\mathbf{F}=(P,Q)$ を
$$P(x,y)=\frac{-y}{x^2+y^2},Q(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$$
で定める。$D$ 上のすべての点で $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ が成り立つが、$D$ 上の $C^1$ 級関数 $\phi$ で $D$ 上 $\nabla \phi =\mathbf{F}$（すなわち $\frac{\partial \phi }{\partial x}=P,\frac{\partial \phi }{\partial y}=Q$）をみたすものは存在しないことを証明せよ。ただし、曲線 $C:\mathbf{r}(t)(a\le t\le b)$ に沿う線積分は ${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }(t)dt$ で定める。

正弦関数の無限積表示
$$\sin (\pi z)=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)(z\in \mathbb{C})$$
において、部分積 $P_N(z)=\pi z{\prod }_{n=1}^N\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)$ が $N\to \infty$ のとき $\mathbb{C}$ 上で広義一様に $\sin (\pi z)$ に収束することは用いてよい。また、正則関数列が領域上で広義一様に収束するとき、その導関数の列も極限関数の導関数に広義一様に収束すること（ワイエルシュトラスの定理）も用いてよい。

これらを用いて、任意の実数 $a>0$ に対して
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+a^2}=\frac{\pi a\coth (\pi a)-1}{2a^2}$$
が成り立つことを証明せよ。ここで $\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}$ である。

$I\subset \mathbb{R}$ を空でない開区間とし、汎関数
$$J[y]=\int \sqrt{y}\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$
のラグランジアン $L(y,p)=\sqrt{y}\sqrt{1+p^2}$（$y>0$, $p\in \mathbb{R}$ で定義する）を考える。$y\in C^2(I)$ が $I$ 上で $y(x)>0$ を満たし、オイラー・ラグランジュ方程式
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial L}{\partial p}(y(x),y^{\prime }(x))\right)=\frac{\partial L}{\partial y}(y(x),y^{\prime }(x))(x\in I)$$
を満たすとする。このとき、定数 $c>0$ と $b\in \mathbb{R}$ が存在して、すべての $x\in I$ で
$$y(x)=c+\frac{(x-b{)}^2}{4c}$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、常微分方程式の解の一意性定理（$F(y,p)$ が開集合 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上で $C^1$ 級のとき、$y^{\prime \prime }=F(y,y^{\prime })$ の区間 $I$ 上の 2 つの $C^2$ 級解 $y,\tilde{y}$ が、$(y,y^{\prime }),(\tilde{y},{\tilde{y}}^{\prime })$ ともに $I$ 上で $D$ に値をとり、ある $x_0\in I$ で $(y(x_0),y^{\prime }(x_0))=(\tilde{y}(x_0),{\tilde{y}}^{\prime }(x_0))$ を満たすならば、$I$ 上で $y=\tilde{y}$）は用いてよい。

曲線 $C:y=\frac{\log x}{x}(x>0)$ を考える。ただし、$\log$ は自然対数とする。$b$ を実数の定数とし、$y$ 軸上の点 $\mathrm{B}(0,b)$ を通る $C$ の接線がちょうど $2$ 本存在するような $b$ の値の範囲を求めよ。なお、必要ならば $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\log x}{x}=0$ を用いてよい。

座標平面上に楕円 $C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$ と直線 $\ell :x+y=5$ がある。点 $\mathrm{P}$ が $\ell$ 上を動くとき、$\mathrm{P}$ から $C$ に引いた $2$ 本の接線の接点を $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ とする。三角形 $\mathrm{PAB}$ の面積の最小値を求めよ。

$x\geqq 0$ で定義された関数 $f(x)$ は $2$ 回微分可能で、$f(0)=1$ であり、$x>0$ で $f^{\prime }(x)>0$ を満たす。曲線 $C:y=f(x)$ 上のどの点 $\mathrm{P}(t,f(t))$ $(t\geqq 0)$ についても、点 $\mathrm{M}(t,0)$ と、$\mathrm{P}$ における $C$ の接線との距離が $1$ であるという。$f(\log 2)$ の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

$x\ge 0$ で 2 回微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=6e^{-x}-4(x\ge 0)$$
と初期条件 $y(0)=1$ を満たし、さらに $x\ge 0$ で有界であるとする。このとき、$x\ge 0$ における $y(x)$ の最小値を求めよ。

$t\geqq 0$ で連続な関数 $y(t)$ が、$y(0)=1$ を満たし、$t=1$ を除く $t>0$ で微分可能であって、積分微分方程式
$$y^{\prime }(t)+3y(t)+2{\int }_0^{t}y(u)du=H(t-1)(t>0,t\ne 1)$$
を満たすとする。ここで $H(t-1)$ は $t<1$ のとき $0$、$t\geqq 1$ のとき $1$ をとる関数である。関数 $f(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ で定める。

このとき、広義積分
$${\int }_0^{\infty }ty(t)dt$$
の値を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$e^x\sin x=k(0\leqq x\leqq 3\pi )$$
が、異なる実数解をちょうど $2$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$4e^x=k\left(4x^2+3\right)$$
が異なる 3 つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底であり、$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^x}{x^2}=\infty$ を用いてよい。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=x+\log (1+x^2)$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数である。$f(x)$ は実数全体で単調に増加するので、逆関数 $g(x)$ をもつ。このとき、$g^{\prime \prime }(2+\log 5)$ の値を求めよ。

曲線 $C:y=\frac{1}{1+x^2}$ と、$y$ 軸上の点 $\mathrm{A}(0,b)$ を考える。ただし $b$ は実数の定数とする。点 $\mathrm{A}$ を通る $C$ の接線がちょうど $4$ 本存在するような $b$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$x>0$ で定義された関数
$$f(x)=(x^2+a)e^{-x}$$
を考える。$x>0$ において $f(x)$ が極値をちょうど $1$ つもち、かつ曲線 $y=f(x)(x>0)$ が変曲点をちょうど $2$ つもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x^2\cos x}{(1+\sin x{)}^2}dx$$

曲線 $C:y=(\log x{)}^2(x\geqq 1)$ を考える。ただし、対数は自然対数とする。原点 $\mathrm{O}$ から曲線 $C$ に引いた接線のうち、$x$ 軸と異なるものを $\ell$ とする。曲線 $C$、直線 $\ell$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

$m$ を実数の定数とする。直線 $\ell :y=mx+2$ と双曲線 $C:x^2-\frac{y^2}{4}=1$ が、$x$ 座標がともに正である異なる 2 点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ で交わるとする。このとき、線分 $\mathrm{PQ}$ の中点の $x$ 座標のとりうる値の範囲を求めよ。

関数 $f(x)=x^2{e}^{2x}$（$x$ は実数）を考える。正の整数 $n$ に対して、$f(x)$ の第 $n$ 次導関数を $f^{(n)}(x)$ で表す。方程式 $f^{(n)}(x)=0$ は異なる $2$ つの実数解をもつ。それらを ${\alpha }_n,{\beta }_n({\alpha }_n<{\beta }_n)$ とするとき、${\beta }_n-{\alpha }_n$ を $n$ の式で表せ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数とする。$f(x)$ を $7$ 回微分して得られる第 $7$ 次導関数を $f^{(7)}(x)$ と表すとき、$f^{(7)}(0)$ の値を求めよ。

$a$ を $0$ でない実数の定数とし、実数全体で定義された関数
$$f(x)=(x^2+ax+1)e^{-x}$$
を考える。ただし、$e$ は自然対数の底とする。$f(x)$ の極小値を $m(a)$ とする。$a$ が $0$ でない実数全体を動くとき、$m(a)$ の最大値を求めよ。

$x>\frac{1}{e}$ で定義された関数 $$f(x)=x^x$$ を考える。ただし、$e$ は自然対数の底とする。$f(x)$ は $x>\frac{1}{e}$ で単調に増加するので逆関数をもつ。その逆関数を $g(x)$ とするとき、$g(x)$ の第 $3$ 次導関数 $g^{\prime \prime \prime }(x)$ の $x=1$ における値 $g^{\prime \prime \prime }(1)$ を求めよ。

$a$ を正の定数とする。すべての正の実数 $x$ に対して、不等式 $$\log (1+x)>\frac{x}{1+ax}$$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

実数全体で定義された関数 $h(y)=y+y^3$ は狭義単調増加で、実数全体から実数全体への全単射である。その逆関数を $g(x)$ とする（すなわち、すべての実数 $x$ に対して $g(x)+g(x{)}^3=x$ が成り立つ）。$g$ の $x=0$ における 7 階微分係数 $g^{(7)}(0)$ の値を求めよ。

区間 $0\le x\le \frac{\pi }{2}$ で 2 回微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }+y=4x\cos x$$ と境界条件 $y(0)=0$, $y\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

アリー効果をもつ生物の個体数 $x(t)(\geqq 0)$ に、捕獲努力 $h$ に比例する捕獲を加えたモデル
$$\frac{dx}{dt}=4x(x-3)(8-x)-hx$$
を考える。ここで $h$ は $0<h<25$ を満たす定数である。

このとき、$x>0$ の範囲にある平衡点のうち漸近安定なものはただ 1 つ存在する。それを $x^{\ast }(h)$ とし、その平衡点での単位時間あたりの捕獲量を $Y(h)=h{x}^{\ast }(h)$ とする。$0<h<25$ における $Y(h)$ の最大値を求めよ。

$\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|<1\}$ を開単位円板とする。$\mathbb{D}$ 上で正則で、すべての $z\in \mathbb{D}$ に対して $|f(z)|<1$ を満たし、さらに
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=0,f\left(-\frac{1}{3}\right)=0$$
を満たす関数 $f$ 全体の集合を $\mathcal{F}$ とする（零点 $\frac{1}{2},-\frac{1}{3}$ の位数は 1 以上であれば何でもよい）。$f$ が $\mathcal{F}$ 全体を動くとき、原点における微分係数の絶対値 $|f^{\prime }(0)|$ の最大値を求めよ。なお、この最大値は $\mathcal{F}$ のある元で実際に達成される。

${\mathbb{R}}^3$ における波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=\Delta u(x\in {\mathbb{R}}^3,t>0),u(x,0)=e^{-|x{|}^2},u_t(x,0)=0(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
を考える。ここで $\Delta$ は $x=(x_1,x_2,x_3)$ に関するラプラシアン、$|x|$ はユークリッドノルムであり、$u$ はこの問題のただ 1 つの $C^2$ 級の解とする。原点での値 $u(0,t)$ の $t>0$ における最小値を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、時刻 $0<t_1<t_2<\cdots <t_n$ にそれぞれ正の金額 $c_1,c_2,\dots ,c_n$ が支払われる債券を考える。連続複利の利回り $y\in \mathbb{R}$ に対して、この債券の価格を
$$P(y)=\sum _{k=1}^n{c}_k{e}^{-y{t}_k}$$
とし、マコーレー・デュレーションを
$$D(y)=\frac{1}{P(y)}\sum _{k=1}^n{t}_k{c}_k{e}^{-y{t}_k}$$
で定める。このとき、関数 $D:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ は $\mathbb{R}$ 上で狭義単調減少であり、その値域は開区間 $(t_1,t_n)$ に一致することを証明せよ。

ただし、微分可能な関数についての平均値の定理と中間値の定理は用いてよい。

$a$ を実数の定数とし、$x\geqq 0$ で定義された関数 $$f(x)=e^x-a\cos x$$ を考える。ただし、$e$ は自然対数の底とする。$x\geqq 0$ のすべての実数 $x$ に対して $f^{\prime }(x)\geqq 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子 $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2$ を考える（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）。消滅演算子 $\hat{a}$ と生成演算子 ${\hat{a}}^{†}$ は $[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]=1$ を満たし、位置演算子は
$$\hat{x}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}\left(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}\right)$$
と表される。実数 $\alpha \geqq 0$ に対して、$\hat{a}|\alpha ⟩=\alpha |\alpha ⟩$、$⟨\alpha |\alpha ⟩=1$ を満たすコヒーレント状態 $|\alpha ⟩$ をとり、これに生成演算子を 1 回作用させて規格化した状態
$$|\psi ⟩=\frac{{\hat{a}}^{†}|\alpha ⟩}{\Vert {\hat{a}}^{†}|\alpha ⟩\Vert }$$
を考える。状態 $|\psi ⟩$ における位置のゆらぎ $(\Delta x{)}^2=⟨\psi |{\hat{x}}^2|\psi ⟩-⟨\psi |\hat{x}|\psi {⟩}^2$ を $\alpha$ の関数とみなすとき、$\alpha \geqq 0$ の範囲での $(\Delta x{)}^2$ の最小値を $\hslash ,m,\omega$ を用いて求めよ。

実数全体で定義された関数 $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$ を考える。$n$ を正の整数とし、$f(x)$ の第 $n$ 次導関数を $f^{(n)}(x)$ で表す。方程式 $f^{(n)}(x)=0$ の異なる実数解すべてについて、その $2$ 乗の和を $n$ の式で表せ。