経済的発注量（EOQ）

あるコーヒー焙煎所では、原料の生豆を年間 $6000\text{kg}$ 使う。使用は一年を通して一定の割合で進む。生豆は毎回 $Q\text{kg}$（$Q>0$ は実数）ずつ発注し、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $3000$ 円の発注費用がかかる。
• 発注した生豆は、在庫がちょうど $0$ になった瞬間に一度に全部届く（納入までの期間は $0$ とみなし、品切れは起こさない）。
• 生豆 $1\text{kg}$ を $1$ 年間保管すると $100$ 円の保管費用がかかり、保管費用は平均在庫量に比例する。
• 生豆の購入代金は発注量によらないので考えない。

年間の発注費用と保管費用の合計（年間総費用）が最小になるように $Q$ を選ぶとき、年間総費用の最小値は何円か。

ある喫茶店では、コーヒー豆を袋単位で仕入れている。コーヒー豆の需要は年間 $2000$ 袋で、一年を通じて一定の割合で生じる。在庫管理について、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $500$ 円の発注費用がかかる。
• $1$ 袋を $1$ 年間保管すると $50$ 円の保管費用がかかる。
• 毎回 $Q$ 袋（$Q>0$）ずつ発注し、在庫がちょうど $0$ になった瞬間に $Q$ 袋が一度に届く（調達期間は $0$、品切れは起こさない）。
• 発注費用と保管費用以外の費用は考えない。

$1$ 年間の発注費用と保管費用の合計を年間総費用とする。$Q$ を正の実数の範囲で動かすとき、年間総費用の最小値は何円か。

ある喫茶店では、コーヒー豆を年間 $1600$ kg 使用する。使用は一年を通じて一定の割合で行われる。コーヒー豆の仕入れについて、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $5000$ 円の発注費用がかかる。
• 毎回 $Q$ kg ずつ発注し、発注したコーヒー豆は在庫がちょうど $0$ になった瞬間に一度に全部届く（品切れは起こさない）。
• コーヒー豆 $1$ kg を $1$ 年間保管するのに $400$ 円の保管費用がかかる。保管費用は平均在庫量 $\frac{Q}{2}$ kg に対してかかるものとする。
• 年間総費用は、年間の発注費用と年間の保管費用の和とする（豆の購入代金は発注量によらないので含めない）。

$Q$ を正の実数として、年間総費用の最小値（円）を求めよ。

ある店舗では、ある部品を年間 $9000$ 個、一定の割合で販売している。この部品を仕入れるとき、$1$ 回の発注ごとに発注量によらず $2000$ 円の発注費用がかかる。また、部品の単価は $500$ 円で、$1$ 個を $1$ 年間保管するのにかかる在庫保管費用は単価の $20\%$ である。

発注はいつも同じ量 $Q$ 個（$Q>0$）ずつ行い、在庫がちょうど $0$ になった瞬間に注文した部品が届く（リードタイム $0$、品切れは起こさない）ものとする。年間の発注費用と年間の在庫保管費用の和（部品の購入代金は含めない）を年間総費用とするとき、$Q$ を正の実数の範囲で動かしたときの年間総費用の最小値（円）を求めよ。

ある工場では、ある製品を自社で生産して在庫し、そこから一定の割合で出荷している。製品の需要は年間 $12000$ 個で一定である。生産は 1 回ごとにまとめて $Q$ 個（ロットサイズ）を行い、生産中は年間 $48000$ 個の一定の速さで製品ができあがる。生産中も出荷は続けるので、生産中の在庫は（生産の速さ）$-$（需要の速さ）の割合で増え、生産が終わると需要の速さで減っていく。在庫が $0$ になった時点で次の生産を始めるものとし、品切れは起こさない。

1 回の生産ごとに、ロットサイズによらず段取り費用 $9000$ 円がかかる。また、製品 $1$ 個を $1$ 年間保管する費用は $200$ 円であり、保管費用は平均在庫量に比例するものとする。

1 年あたりの段取り費用と保管費用の合計を最小にするロットサイズ $Q$（個）を求めよ。ただし $Q$ は正の実数として扱ってよい。

ある工場では、ある部品を自社の生産ラインで製造している。この部品の需要は年間 $9000$ 個で、一定の割合で生じる。部品の生産と在庫について、次を仮定する。

• 生産中は部品が年間 $27000$ 個の一定の割合で完成し、完成した部品はただちに在庫に加わる。生産中も需要は同じ割合で生じ続ける。
• $1$ 回の生産（ロット）ごとに、生産量によらず $4000$ 円の段取り費用がかかる。
• 部品 $1$ 個を $1$ 年間保管するのに $300$ 円の保管費用がかかり、保管費用は在庫量の時間平均に比例する。
• 品切れは許さず、在庫がちょうど $0$ になった時点で次の生産を始める。毎回の生産量は同じ $Q$ 個とし、$Q$ は正の実数として扱ってよい。

$1$ 年あたりの段取り費用と保管費用の合計の最小値（円）を求めよ。

ある販売店では、ある商品の需要が年間 $4500$ 個で、一定の割合で生じる。この商品の在庫管理について、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $400$ 円の発注費用がかかる。発注した商品は一度に納入され、納入までの時間は $0$ とみなす。
• 在庫 $1$ 個を $1$ 年間保管すると $250$ 円の保管費用がかかる（保管費用は在庫量と時間に比例する）。
• 在庫が $0$ のときに生じた需要は品切れ（受注残）として残し、次の納入時にすべて満たす。受注残 $1$ 個を $1$ 年間残すと $200$ 円の品切れ費用がかかる（品切れ費用は受注残の量と時間に比例する）。
• 毎回の発注量は同じ $Q$ 個であり、毎回、受注残が同じ量 $B$ 個（$0\le B\le Q$）に達した時点で発注・納入して受注残をすべて満たす。

$Q,B$ は正の実数（$B$ は $0$ 以上の実数）として扱い、商品の購入単価は考えない。年間の発注費用・保管費用・品切れ費用の合計を最小にする発注量 $Q$ と、そのときの年間費用の合計（円）を、この順に組で求めよ。

ある販売店は、ある部品を仕入れて販売している。部品の需要は年間 $3600$ 個で一定である。毎回 $Q$ 個（$Q$ は正の整数）ずつ発注し、発注した部品は在庫がちょうど $0$ になった瞬間に一度に全部届く（調達期間は $0$ とみなし、品切れは起こさない）。発注 $1$ 回あたりの発注費用は $2500$ 円である。年間の保管費用は、部品 $1$ 個あたり単価の $20\%$ とし、平均在庫量 $\frac{Q}{2}$ 個に対してかかるものとする。

仕入れ先は、$1$ 回の発注量 $Q$ に応じて次の数量割引を行っている（割引は発注した全数に適用される）。

年間の総費用を（購入費用）$+$（発注費用）$+$（保管費用）とするとき、年間の総費用を最小にする発注量 $Q$ と、そのときの年間の総費用（円）を、この順に組で求めよ。

ある倉庫で 2 種類の商品 $P_1,P_2$ を扱っている。それぞれの年間需要量は一定の割合で生じ、$P_1$ が $4000$ 個、$P_2$ が $6000$ 個である。$1$ 回の発注費用（発注量によらない）は $P_1$ が $300$ 円、$P_2$ が $750$ 円であり、$1$ 個を $1$ 年間保管する費用は $P_1$ が $20$ 円、$P_2$ が $60$ 円である。各商品は在庫が $0$ になった瞬間に発注し、注文はただちに納入される（品切れは起こさない）。$P_1,P_2$ の $1$ 回の発注量をそれぞれ $Q_1,Q_2$（正の実数）とし、各商品の在庫は $Q_i$ から $0$ まで一定の速さで減るものとする（年間保管費用は平均在庫量 $Q_i/2$ に比例する）。

この倉庫には商品を合計 $500$ 個までしか置けないため、両商品の最大在庫量が同時に生じてもよいように
$$Q_1+Q_2\le 500$$
という制約を課す。この制約のもとで、2 商品の年間発注費用と年間保管費用の総和の最小値（円）を求めよ。

ある品目の需要は一定の速さ $D>0$（単位時間あたりの個数）で連続的に生じるとする。品切れは許さず、発注した品物は直ちに届く（リードタイム $0$）。1 回の発注ごとに固定費 $K>0$ がかかり、在庫 1 個を単位時間保管するごとに保管費 $h>0$ がかかる。正の実数 $T$ に対し、「在庫がちょうど $0$ になった時刻ごとに $DT$ 個を発注する」方策（発注間隔 $T$ の方策）の単位時間あたりの平均費用（1 周期 $[0,T]$ の発注費と保管費の和を $T$ で割ったもの）を $C(T)$ とし、$C(T)$ を最小にする $T$ を $T^{\ast }$ とする。

いま、発注間隔は基準時間 $T_B>0$ の $2^k$ 倍（$k$ は整数）に限るとする。どのような $D,K,h,T_B$ に対しても、ある整数 $k$ が存在して
$$\frac{C(2^k{T}_B)}{C(T^{\ast })}\le \frac{3}{2\sqrt{2}}$$
が成り立つことを証明せよ（$T^{\ast }$ が存在することも示すこと）。