オペレーションズ・リサーチの問題

ある喫茶店では、コーヒー豆を年間 $1600$ kg 使用する。使用は一年を通じて一定の割合で行われる。コーヒー豆の仕入れについて、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $5000$ 円の発注費用がかかる。
• 毎回 $Q$ kg ずつ発注し、発注したコーヒー豆は在庫がちょうど $0$ になった瞬間に一度に全部届く（品切れは起こさない）。
• コーヒー豆 $1$ kg を $1$ 年間保管するのに $400$ 円の保管費用がかかる。保管費用は平均在庫量 $\frac{Q}{2}$ kg に対してかかるものとする。
• 年間総費用は、年間の発注費用と年間の保管費用の和とする（豆の購入代金は発注量によらないので含めない）。

$Q$ を正の実数として、年間総費用の最小値（円）を求めよ。

あるコーヒー焙煎所では、原料の生豆を年間 $6000\text{kg}$ 使う。使用は一年を通して一定の割合で進む。生豆は毎回 $Q\text{kg}$（$Q>0$ は実数）ずつ発注し、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $3000$ 円の発注費用がかかる。
• 発注した生豆は、在庫がちょうど $0$ になった瞬間に一度に全部届く（納入までの期間は $0$ とみなし、品切れは起こさない）。
• 生豆 $1\text{kg}$ を $1$ 年間保管すると $100$ 円の保管費用がかかり、保管費用は平均在庫量に比例する。
• 生豆の購入代金は発注量によらないので考えない。

年間の発注費用と保管費用の合計（年間総費用）が最小になるように $Q$ を選ぶとき、年間総費用の最小値は何円か。

ある店舗では、ある部品を年間 $9000$ 個、一定の割合で販売している。この部品を仕入れるとき、$1$ 回の発注ごとに発注量によらず $2000$ 円の発注費用がかかる。また、部品の単価は $500$ 円で、$1$ 個を $1$ 年間保管するのにかかる在庫保管費用は単価の $20\%$ である。

発注はいつも同じ量 $Q$ 個（$Q>0$）ずつ行い、在庫がちょうど $0$ になった瞬間に注文した部品が届く（リードタイム $0$、品切れは起こさない）ものとする。年間の発注費用と年間の在庫保管費用の和（部品の購入代金は含めない）を年間総費用とするとき、$Q$ を正の実数の範囲で動かしたときの年間総費用の最小値（円）を求めよ。

ある部品メーカーでは、ある部品の需要が年間 $3000$ 個あり、一定の割合で生じる。この部品の在庫管理について、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $200$ 円の発注費用がかかる。発注した部品は一度に納入され、納入までの時間は無視できる。
• 在庫 $1$ 個を $1$ 年間保管するのに $40$ 円の保管費用がかかる。
• 欠品を許し、欠品した分は次の納入時にすべて補充する（受注残）。欠品 $1$ 個が $1$ 年間続くごとに $120$ 円の欠品費用がかかる。

$1$ 回の発注量を $Q$ 個、各サイクルの最大欠品量を $S$ 個とすると、年間総費用は
$$f(Q,S)=\frac{200\cdot 3000}{Q}+\frac{40(Q-S{)}^2}{2Q}+\frac{120S^2}{2Q}$$
で表される。$Q$ を正の実数、$S$ を $0\le S<Q$ を満たす実数の範囲で動かすとき、$f(Q,S)$ を最小にする発注量 $Q$ と、そのときの年間総費用の最小値（円）を、この順に組で求めよ。

ある商店では、ある部品の需要が年間 $900$ 個で、一定の割合で生じる。在庫管理について次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $200$ 円の発注費用がかかる。発注した部品は一度に納入される。
• 在庫を $1$ 個 $1$ 年間保管すると $9$ 円の保管費用がかかる。
• 欠品を許し、欠品した分は次の納入時にまとめて補充する（受注残）。欠品 $1$ 個が $1$ 年間続くと $16$ 円の欠品費用がかかる。

$1$ 回の発注量を $Q$ 個、納入直前の最大欠品量を $S$ 個とすると（$Q,S$ は $0\le S<Q$ を満たす実数とみなす）、年間総費用 $C(Q,S)$（円）は
$$C(Q,S)=\frac{200\cdot 900}{Q}+\frac{9(Q-S{)}^2}{2Q}+\frac{16S^2}{2Q}$$
で表される。$C(Q,S)$ を最小にする $Q$、$S$ と、そのときの最小の年間総費用を、組 $(Q,S,C)$ の形でこの順に求めよ。